Левитация в Ньютоновской механике

[El Selenita]

1) Чему равны равнодействующие силы, приложенные к гайкам?
2)Чему равны их проекции на касательную к кольцам?

...
Для упрощения, принимается, что масса кажой гайки равна 0. Тогда, по 2-му закону Ньютона, равнодействующая сил, приложенная к каждой гайке равна 0.
...
Проекции равнодействующих на касательные, соответственно, равны 0.

Очень, очень хорошо. Тогда
1) Чему равны силы, приложенные к стержню?
2) Чему равны их проекции на касательную к кольцам?
2.1) Чему равен модуль векторной суммы их проекций на касательную к кольцам?

3) Составьте уравнения динамики для данной системы.

Я же написал

принимается, что во 2-м законе Ньютона силы инерции используются, но в тексте они не называются.

Ускорение стержня (центра масс стержня с гайками) в проекции на прямую, перпендикулярную радиус-вектору стержня, равно разнице между проекцией силы тяжести и суммой сил трения. Это и есть уравнение движения стержня.

Ну забыл написать, что ускорение стержня умножается на массу. Вместо "на касательную", написал "на прямую, перпендикулярную радиус-вектору стержня".  Вы из-за этого непоняли, да? Или потому, что нужную силу инерции не назвал?

Вот уравнение движения стержня:

mr*f'' = -mg*sin(f) - J*f''/r

Вы не поняли. Я не прошу уравнение движения стержня. Я прошу уравнения динамики (в инерциальной системе отсчёта, пожалуйста). Этих уравнений два:

а) сумма сил, приложенных к стержню, равна произведению его массы на ускорение  его ц. м.;
б) сумма моментов, приложенных к ц. м. стержня, равна произведению его центрального осевого момента на его угловое ускорение.

Пожалуйста, напишите уравнения динамики стержня. Уравнение (а), пожалуйста, расишите в проекциях на (а1) радиальную и (а2) касательную оси. Не забудьте выписать все силы, действующие на стержень. Для примера: я написал уравнения динамики в начале поста http://www.novosti-kosmonavtiki.ru/phpBB2/viewtopic.php?p=416031#416031 . Напишите свои, пожалуйста.[/quote]

PS. Я ответил потому что Вы нормально спросили. Но часто здесь появляться не могу.

Я не прошу писать подробно. Достаточно написать только ответы. Надеюсь, в будущем Вы найдёте хотя бы минутку - раз уж до сих пор могли тратить на эту тему заметное время.

Я не сомневаюсь, что наступит момент, когда Вы скажите - "Понял. Все действительно очень просто". Но в рамках вопросов и ответов путь к этому может оказаться долгим.

Я надеюсь, мы довольно быстро придём к результату.

Может просто попробовать спокойно подумать над этой задачей? Это практически школьная задача.

Да-да, спасибо за предложение. Надеюсь, Вас не затруднит всё-таки ответить на мои простые, практически школьные вопросы - написать уравнения динамики ведь не сложно, не правда ли? Я это уже сделал неоднократно.

[ДалекийГость]

1) Чему равны силы, приложенные к стержню?

На стержень действуют:
- его вес, mg;
- две нормальные реакции опор от двух колец, P1 и P2, всегда направленные исключительно радиально;
- два момента сил от двух колец, M1 и M2. Каждый момент сил создается своей собственной парой сил. Равнодействующая каждой пары сил равна 0. Все силы обоих пар сил всегда направлены исключительно радиально.

2) Чему равны их проекции на касательную к кольцам?

Проекция веса стержня = -mg*sin(f); проекции P1 и P2 равны 0.

2.1) Чему равен модуль векторной суммы их проекций на касательную к кольцам?

Векторной суммы проекций не бывает. Но в любом случае, только одно слагаемое не равно 0. Это проекция веса стержня = -mg*sin(f)

3) Составьте уравнения динамики для данной системы.

ma=mg+P1+P2 (уравение сил в векторном виде) (a)
Jf''=M1+M2 (уравнение моментов в скалярном виде)

Уравнение (а), пожалуйста, расишите в проекциях на (а1) радиальную и (а2) касательную оси

Единичный радиальный вектор - R, единичный касательный вектор - L
(a1)
m (a*R) = -mg*cos(f) + P1 + P2
(a2)
m (a*L) = -mg*sin(f)

(a*R) и (a*L) - скалярные произведения, они же проекции ускорения на радиальную и касательные оси.

Не забудьте выписать все силы, действующие на стержень.

Не забыл.

PS.
Небольщое дополнение по поводу невозможности найти нормальные реакции опор P1 и P2 по отдельности в рамках Ньютоновской механики в виде двух задач.

1) Вертикальный стержень неподвижно весит в поле тяжести на двух гвоздях. Гвозди расположены на одной вертикали. Масса стержня m, расстояние между гвоздями h. Составить уравнения динамики(статики?) стержня (в инерциальной системе отсчёта) и получить силы P1 и P2, действующие на гвозди со стороны стержня.

2) Мальчик сидит на карусели, вращающейся с угловой скоростью w. Ось вращения карусели веритикальна. Мальчик движется в горизонтально плоскости. Мальчик держит в руках стержень длины h. Стержень расположен горизонтально по радиусу карусели. Расстояние от центра масс стержня до центра вращения карусели равно r.  Составить уравнения динамики стержня (в инерциальной системе отсчёта) для горизонтальной плоскости и получить силы P1 и P2, действующие на руки мальчика со стороны стержня.
(если вторая задача кажется сложной, то не решайте)

[El Selenita]

1) Чему равны силы, приложенные к стержню?

На стержень действуют:
- его вес, mg;
- две нормальные реакции опор от двух колец, P1 и P2, всегда направленные исключительно радиально;

Прекрасно. Чему они равны по отдельности?

- два момента сил от двух колец, M1 и M2. Каждый момент сил создается своей собственной парой сил.

Какой парой сил? Напишите, пожалуйста, эти силы так, как Вы написали силы нормальных реакций. И, пожалуйста, укажите, чему они равны по отдельности.

Равнодействующая каждой пары сил равна 0. Все силы обоих пар сил всегда направлены исключительно радиально.

Если "ВСЕ силы обоих пар сил всегда направлены исключительно радиально", то плечо КАЖДОЙ из этих сил равно нулю, и создаваемый ими момент равен нулю. Напоминаю, что момент силы F есть M=lxF (l - вектор от ц. м. до точки приложения силы). Если F || l, то M=0.

У Вас оба момента равны нулю или у Вас собственное понимание момента силы, отличающееся от общепринятого?

2.1) Чему равен модуль векторной суммы их проекций на касательную к кольцам?

Векторной суммы проекций не бывает.

Бывает. Проекция вектора - это вектор. Возможно, Вы смешали модуль проекции и саму проекцию, но это не беда, иногда их смешивают.

3) Составьте уравнения динамики для данной системы.

ma=mg+P1+P2 (уравение сил в векторном виде) (a)
Jf''=M1+M2 (уравнение моментов в скалярном виде)

Других сил нет вообще? Вы же говорили, что "Каждый момент сил создается своей собственной парой сил". Где эти силы в Ваших уравнениях динамики?

Не забудьте выписать все силы, действующие на стержень.

Не забыл.

Всё-таки забыли. Вы же сами говорили о том, что "Каждый момент сил создается своей собственной парой сил". Но в Ваших уравнениях динамики этих сил нет. Это какие-то воображаемые силы, на которые законы динамики не распространяются и которые в уравнениях динамики не фигурируют?

PS.
Небольщое дополнение по поводу невозможности найти нормальные реакции опор P1 и P2 по отдельности в рамках Ньютоновской механики в виде двух задач.

Это совершенно излишне. Я прекрасно знаю, что их невозможно найти, и я даже сам Вам об этом написал. Могу даже предположить, что Вы об этом узнали от меня, хотя не могу настаивать. Однако Вы писали:

"Если этот ответ и весь предыдущий текст в этом сообщении покажется банальным, почитайте сообщения в этой теме. В них встретятся:
<...>
- неопределенность граничных условий;
- бесконечное множество решений;
- и прочие чудеса.
Ничего этого в рассматриваемой задаче в рамках Ньютоновской механики, конечно, нет"

Невозможность найти силы Р1 и Р2 по отдельности означает именно "неопределённость граничных условий" и "бесконечное множество решений" (во всяком случае, в отношении произвола комбинаций Р1 и Р2). С одной стороны, Вы настаиваете, что всего этого в рассматриваемой задаче нет, с другой - настаиваете, что "найти нормальные реакции опор P1 и P2 по отдельности в рамках Ньютоновской" невозможно.

Определитесь, какое из двух Ваших взаимно противоречащих утверждений соответствует действительности. Заранее благодарю.

[ДмитрийК]

Приятно видеть что ДалекийГость наконец-то начал двигаться в правильную сторону. Хотя дорога предстоит еще длинная.

ma=mg+P1+P2 (уравение сил в векторном виде) (a)
Jf''=M1+M2 (уравнение моментов в скалярном виде)

Во-первых не раскрыт механизм откуда берутся моменты сил. Их наличие просто постулируется. А ведь в этом-то и заключался весь вопрос. :!:
Во-вторых (и это самое главное, без чего задачу решить нельзя), не использованы имеющиеся кинематические ограничения.

Пока то что написано - это просто некое абстрактное тело на которое действуют некие 3 силы и 2 момента. Вывести отсюда уравнение движения (которое, надо отдать должное, правильное) - "никогда нигде и никаких шансов" (с). Тем более не прослеживается вообще никакой связи с дискуссиями на предыдущих 20 страницах - ни доказать ни опровергнуть ни одного утверждения не получится.

"А теперь правильный ответ" (c):

Рассмотрим гайки конечного размера. Для упрощения вычислений удобно использовать угловой размер гайки, а именно: Предположим что гайка взаимодействует с кольцом в 2х точках находяшихся на одинаковом угловом расстоянии по обе стороны от стержня. Т.е. если стержень расположен под углом а то касание происходит в точках (a+b) и (a-b) соответственно. Трение отсутствует, поэтому силы направлены вдоль радиуса из точки касания.

Назовем силы действующие на первую гайку F11 и F12, на вторую F21, F22. Моменты этих сил относительно центра масс стержня назовем М11..М22.

F11х + F12х + F21х + F22х      = mх''
F11y + F12y + F21y + F22y - mg = my''
M11 + M12 + M21 + M22          = Ja''
где:
x,y - координаты Ц.М.,
а   - угол поворота стержня относительно Ц.М.
m   - масса
J   - момент инерции стержня отн. Ц.М.
g   - ежу понятно

Добавим органичения:
x = R cos a
y = R sin a
(R - расстояние от центра до Ц.М) из которых следует:
x'' = - R a'' sin a - R a'^2 cos a
y'' =   R a'' cos a - R a'^2 sin a

Распишем проекции сил на оси координат:
F11x = F11 cos (a+b) F11y = F11 sin (a+b)
F12x = F12 cos (a-b) F12y = F12 sin (a-b)
F21x = F21 cos (a+c) F21y = F21 sin (a+c)
F22x = F22 cos (a-c) F22y = F22 sin (a-c)
(Угловой размер 1ой гайки 2b, второй 2c)

Подсчитаем моменты:
M11 =  F11 R sin b
M12 = -F12 R sin b
M21 =  F21 R sin c
M22 = -F22 R sin c

Подставив, преобразовав, получим:
(F11 + F12) cos b + (F21 + F22) cos c - mg sin a = - mR a'^2
(F11 - F12) sin b + (F21 - F22) sin c + mg cos a = - mR a''
(F11 - F12) R sin b + (F21 - F22) R sin c = Ja''
Получили равенства для суммы радиальных сил, тангенциальных сил и моментов.

Преобразовав еще чуть-чуть, получим уравнение движения в явном виде:
a''(J+mR^2) = -mgR cos a
слева - угловое ускорение на суммарный момент инерции, справа - момент силы тяжести. cos вместо sin потому что у меня угол считается от оси х).

Теперь выразим силы в явном виде (насколько это возможно) как функции состояния системы (угла a и угловой скорости а'):
(F11 - F12) sin b + (F21 - F22) sin c = -mg cos a J/(I+mR^2)
(F11 + F12) cos b + (F21 + F22) cos c =  mg sin a - mR a'^2

Задача решена. Теперь анализ.
1. Закон движения зависит только от J, m и R. Размеры гаек, радиусы колец итд. на движение не влияют.
2. Силы не зависят от радиусов колец.
3. Для сил имеем 2 ур-я и 4 неизвестных. Что означает что любые 2 силы мы можем выбрать произвольно и получить частное решение. Например:
4. Мы можем положить F21=F22=0 (одна из гаек отсутствует). Тогда мы можем подсчитать силы для 1ой гайки в явном виде:
F11 = (mg sin a - mR a'^2 /cos b - mg cos a J/(I+mR^2)/sin b) / 2
F12 = (mg sin a - mR a'^2 /cos b + mg cos a J/(I+mR^2)/sin b) / 2
5. Мы можем положить F12=F22=0 (каждая гайка касается только в 1 точке).
В этом случае углы b, c (а точнее разность b-c) определяют "перекос".
Получим вполне конкретные значения для F11, F21 (задание на дом).
6. Для обшего решения в условии задачи нехватает данных.
7. При переходе к пределу и устремлении обоих b и c к нулю по крайней мере 2 из 4 сил стремятся к бесконечности.
8. В случае 5 (каждая гайка касается только в 1 точке) при стремлении разности (b-c) к нулю силы разрывающие стержень стремятся к бесконечности.

И т.д. анализ можно продолжать.

[El Selenita]

3) Составьте уравнения динамики для данной системы.

ma=mg+P1+P2 (уравение сил в векторном виде) (a)
Jf''=M1+M2 (уравнение моментов в скалярном виде)

Я спешил не успел прокомментировать Вашу систему, только успел сказать, что в ней отсутствуют все упоминаемые Вами силы. Итак.

I) У Вас отсутствует уравнение связи моментов с силами: моменты выписаны безо всякой связи с силами, которыми они порождаются.

II) В Вашей этой системе имеется 3 уравнения (первое распадается на два при проецировании на оси) и 8 неизвестных: по 2 проекции сил Р1 и Р2, 2 проекции моментов М1 и М2, ускорение а, угловое ускорение ff''. Всего (2+2)+2+1+1=8. Я понимаю, что несколько уравнений в систему добавляются (связь а и f'', Р1 и Р2, например), но не хочу делать это за Вас и догадываться, что Вы имели в виду. Пожалуйста, разбиритесь сами. У Вас 8 неизвестных и 3 уравнения. Этого маловато для однозначного решения системы.

Будьте добры, составьте ПОЛНУЮ систему, такую, чтобы её решение могло быть однозначным. Или расскажите, как из неполной системы у Вас получается однозначное решение. Заранее благодарю.

[ДалекийГость]

Какой парой сил? Напишите, пожалуйста, эти силы так, как Вы написали силы нормальных реакций. И, пожалуйста, укажите, чему они равны по отдельности.

Поиск значения сил в паре сил - это круто.
Задача.
Дано: момент силы M. Значение плеча никому неизвестно и никому не интересно.
Найти: значения сил F1 и F2 в паре сил, которая создает этот момент.

Возникает вопрос, а зачем нужна такая задача? Кому и для чего понадобятся значения сил пары сил?

Если "ВСЕ силы обоих пар сил всегда направлены исключительно радиально", то плечо КАЖДОЙ из этих сил равно нулю, и создаваемый ими момент равен нулю.

Радиально - это означает параллельно радиус-вектору центра масс стержня. Силы в паре сил всегда параллельны и противоположно направлены. В данном случае одна сила направлена по радиус-вектору центра масс стержня, а другая - против. Если размеры стержня конечны, то плечо пары сил не равно 0. Если толщина стержня равна 0, то силы пары сил равны бесконечности, потому что они приложены в одной точке. Однако это не оказывает разрушающего влияния на стержень, потому что равнодействующая пары сил всегда равна 0.

Других сил нет вообще? Вы же говорили, что "Каждый момент сил создается своей собственной парой сил". Где эти силы в Ваших уравнениях динамики?

Силы пары сил в уравнених динамики не пишут.
В уравнениях для сил их не пишут потому, что равнодействующая любой пары силы равна 0.
В уравнениях для моментов их не пишут потому, что в уравнениях для моментов пишут моменты, а не силы.

Если хотите, то можете добавить в правые части уравнений динамики, которые я написал для Вас произвольное количество нулей. Можете обозначить их разнообразными символами по Вашему вкусу.

Чему они равны по отдельности?

Вот и я спрашиваю, чему равны P1 и P2 в моих задачах про вертикальный стержень на двух гвоздях и горизонтальный стержень на карусели?

Будьте добры, составьте ПОЛНУЮ систему, такую, чтобы её решение могло быть однозначным.

Покажите пример. Составьте ПОЛНЫЕ системы для этих двух моих задач такие, чтобы их решения были однознозначны для P1 и P2 по отдельности.  В рамках Ньютоновской механики, естественно.

[El Selenita]

Какой парой сил? Напишите, пожалуйста, эти силы так, как Вы написали силы нормальных реакций. И, пожалуйста, укажите, чему они равны по отдельности.

Поиск значения сил в паре сил - это круто.
Задача.
Дано: момент силы M. Значение плеча никому неизвестно и никому не интересно.
Найти: значения сил F1 и F2 в паре сил, которая создает этот момент.

Возникает вопрос, а зачем нужна такая задача? Кому и для чего понадобятся значения сил пары сил?

Извините, ньютонова механика, как и физика, никогда не ставит вопроса "кому интересно" и "кому понадобится". Эти философские аспекты мы сможем обсудить позже. Впрочем, на них есть простой ответ: они интересны мне, они понадобятся мне. Философский вопрос "для чего" пока отложим, а сейчас вернёмся к физике.

Итак, напишите, пожалуйста, эти силы так, как Вы написали силы нормальных реакций. И, пожалуйста, укажите, чему они равны по отдельности.

Если "ВСЕ силы обоих пар сил всегда направлены исключительно радиально", то плечо КАЖДОЙ из этих сил равно нулю, и создаваемый ими момент равен нулю.

Радиально - это означает параллельно радиус-вектору центра масс стержня. Силы в паре сил всегда параллельны и противоположно направлены. В данном случае одна сила направлена по радиус-вектору центра масс стержня, а другая - против. Если размеры стержня конечны, то плечо пары сил не равно 0.  Если толщина стержня равна 0, то силы пары сил равны бесконечности, потому что они приложены в одной точке.  

Простите, но Вы забыли обосновать неравенство нулю моментов, создаваемых этими силами. Вынужден повторить, что в Вашей исходной постановке задачи толщина стержня равна нулю, и, поскольку Вы заявляете, что "Все силы обоих пар сил всегда направлены исключительно радиально", то их плечо любой из этих сил может быть равно только нулю - потому хотя бы, что ц. м. стержня лежит на линии действия каждой из этих сил. Равенство нулю плеча означает равенство нулю каждого из моментов по отдельности и их суммы в целом. Если Вы придерживаетесь другой точки зрения, Вам следует её обосновать.

Кроме того, в Вашей исходной задаче, Вашими словами, "Все размеры указанных тел, кроме радиусов колец и длины стрежня равны 0". Поскольку, Вашими словами, "Если толщина стержня равна 0, то силы пары сил равны бесконечности", то отсюда следует, что у Вас "силы пары сил равны бесконечности".

С другой стороны, Вы писали:
"Если этот ответ и весь предыдущий текст в этом сообщении покажется банальным, почитайте сообщения в этой теме. В них встретятся:
<...>
- бесконечная сила, сжимающая или растягивающая стержень;
<...>- и прочие чудеса.
Ничего этого в рассматриваемой задаче в рамках Ньютоновской механики, конечно, нет".

Таким образом, ещё вчера Вы утверждали, что бесконечных сил в задаче нет, а сегодня Вы утверждаете, что бесконечные силы в Вашей задаче имеются, причём в ассортименте.

Будьте добры, скажите, какое из этих двух Ваших взаимоисключающих утверждений верно, и обоснуйте его верность.

Однако это не оказывает разрушающего влияния на стержень, потому что равнодействующая пары сил всегда равна 0.

Это утверждение выглядит странным. Разрушающее влияние силы вообще выходит за рамки рассмотрения ньютоновой механики, а если уж выйти за её рамки и обсуждать разрушающее влияние сил - то утверждение вообще не выглядит обоснованным: равенство нулю равнодействующей никаким образом не гарантирует неразрушимость.

Других сил нет вообще? Вы же говорили, что "Каждый момент сил создается своей собственной парой сил". Где эти силы в Ваших уравнениях динамики?

Силы пары сил в уравнених динамики не пишут.
В уравнениях для сил их не пишут потому, что равнодействующая любой пары силы равна 0.

Извините, но равенство нулю равнодействующей каких-либо сил никаким образом не служит основанием для того, чтобы не писать эти силы в уравнениях динамики. (В противном случае, например, уравнения статики вообще не следовало бы писать, поскольку в них равнодействующая всех сил равна нулю.) Я осмелюсь напомнить Вам второй закон Ньютона (http://physics.ru/courses/op25part1/content/chapter1/section/paragraph8/theory.html ): ускорение есть отношение к массе тела суммы ВСЕХ сил, приложенных к телу. Таким образом, нет никаких препятствий включать в сумму ВСЕ силы, не проводя промежуточных сокращений.

Я прошу Вас записать уравнение 2-го закона Ньютона, включив в него ВСЕ силы, действующие на стержень. Прошу уже в третий раз. Надеюсь, мне не придётся просить в четвёртый. Заранее благодарю.

Если хотите, то можете добавить в правые части уравнений динамики, которые я написал для Вас произвольное количество нулей. Можете обозначить их разнообразными символами по Вашему вкусу.

Нет. Я не хочу писать вместо Вас Вашу систему уравнений - тем более, что это не должно быть слишком сложно. Пожалуйста, напишите уравнение 2-го закона Ньютона для стержня, включив в него сумму ВСЕХ сил, приложенных к стерженю со стороны тел, входящих в систему.

Чему они равны по отдельности?

Вот и я спрашиваю, чему равны P1 и P2 в моих задачах про вертикальный стержень на двух гвоздях и горизонтальный стержень на карусели?

Давайте ограничимся пока рассмотрением Вашей исходной задачи.

Будьте добры, составьте ПОЛНУЮ систему, такую, чтобы её решение могло быть однозначным.

Покажите пример. Составьте ПОЛНЫЕ системы для этих двух моих задач такие, чтобы их решения были однознозначны для P1 и P2 по отдельности.  В рамках Ньютоновской механики, естественно.

Извините, но мы сейчас разбираем Вашу исходную задачу, и мне не хотелось бы отнимать у Вас и у себя лишнее время, отвлекаясь на другие задачи.

Поэтому давайте вернёмся к исходной, тем более, что Вы так и не смогли до сих пор сделать ряд вещей. Итак, я напомню, что у Вас осталось несделанным.
______
1) Пожалуйста, напишите уравнение 2-го закона Ньютона для стержня, включив в него сумму ВСЕХ сил, приложенных к стерженю со стороны тел, входящих в систему.

2) Напишите, пожалуйста, силы, создающие моменты М1 и М2, так, как Вы написали силы нормальных реакций. И, пожалуйста, укажите, чему они равны по отдельности.

3) У Вас отсутствует уравнение связи моментов с силами: моменты выписаны безо всякой связи с силами, которыми они порождаются. Пожалуйста, напишите уравнение, связывающее моменты М1и М2 с порождающими их силами.

4) В Вашей системе

3) Составьте уравнения динамики для данной системы.

ma=mg+P1+P2 (уравение сил в векторном виде) (a)
Jf''=M1+M2 (уравнение моментов в скалярном виде)

имеется 3 уравнения и 8 неизвестных. Этого маловато для однозначного решения системы.  Будьте добры, составьте ПОЛНУЮ систему, такую, чтобы её решение могло быть однозначным. Или расскажите, как из неполной системы у Вас получается однозначное решение.

5) Вчера Вы заявляли, что в "в рассматриваемой задаче в рамках Ньютоновской механики, конечно, нет": неопределенности граничных условий; бесконечного множества решений; бесконечной силы, сжимающая или растягивающая стержень.

Сегодня у Вас появилась и неопределённость граничных условий (невозможность определить Р1 и Р2 поодиночке), и бесконечное множество решений (решения, соответствующие разным наборам Р1 и Р2), и бесконечные силы, сжимающие или растягивающие стержень ("Если толщина стержня равна 0, то силы пары сил равны бесконечности").

Пожалуйста, поясните, какой из Ваших взаимоисключающих выводов следует считать правильным в каждом из трёх случаев - вчерашний или сегодняшний?

Заранее благодарю.

P.S. Я вовсе не хочу отнимать у Вас слишком много драгоценного времени, поэтому меня совершенно устроят лишь испрошенные выписанные уравнения с пояснением входящих величин, без отвлечений на посторонние примеры и философские дискуссии вроде "кому интересно" и "зачем нужно". Это сэкономит много времени и байтов.

[ДалекийГость]

Итак, напишите, пожалуйста....

Ну хорошо, пишу, хотя это уже выглядит театром абсурда. На какое чудо Вы надеетесь? Ненулевых тангенциальных сил не будет.

Итак.

К бесконечно тонкому стержню мы придем путем предельного перехода и посмотрим, влияет ли на что-нибудь толщина стержня.

Все что ообзначено большими буквами - это векторы. Кроме момента инерции J и асболютных величин моментов сил M1 и M2, которые являются скалярами.

Толщина стержня: d.
Единичный радиус-вектор центра масс стержня: R (радиальная ось)
Единичный вектор, касательный к кольцам в точках пересечения продолжения вектора R и колец: L.(касательная ось)
L перпендикулярен R.

На стержень действуют:
- его вес, mG;
- две нормальные реакции опор от двух колец, P1 и P2, направленнные параллельно или антипараллельно R;
- две пары сил реакции опоры от двух колец:
от первого кольца: S1 и T1;
от второго кольца: S2 и T2;

Скалярные произведения P1, P2 и R равны, соответственно:
(P1*R)= p1
(P2*R)= p2

В соответствии с определением пары сил:
S1+T1=0
S2+T2=0

Плечо каждой пары сил равно d/2.

Вектора моментов сил, создаваемые каждой парой сил, перпендикулярны плоскости колец. В зависимости от их направления векторов знаки скаляров M1 и M2, соответствующие величинам этих моментов сил, могут быть как положительными так и отрицательнми.

Абсолютная величина сил S1 и T1 равна абсолютной величине 2*M1/d.
Абсолютная величина сил S2 и T2 равна абсолютной величине 2*M2/d.
 
Ускорения центра масс стержня: A.
Угол между R и вертикалью: f.
Расстояние от центра масс стержня до центра колец: r.

Уравнения динамики стержня:
Уравнение (a)
mA=mG+P1+P2 + (S1+T1) + (S2+T2) (уравение сил в векторном виде)

Jf''=M1+M2 (уравнение моментов в скалярном виде)

Уравнение (a) включает в себя все силы, действующие на стержень в задаче.

Уравнение (a) тождественно равно:
mA=mG+P1+P2

В проекции на радиальную ось получаем уравнение (a1)
m(A*R) = mg*cos(f) + p1 + p2 + ((S1+T1)*R) + ((S2+T2)*R)

В проекцияи на радиальную ось получаем уравнение (a2)
m (A*L) = -mg*sin(f) +  ((S1+T1)*L) + ((S2+T2)*L),

Уравнения (a1) и (а2)  включают в себя проекции всех сил действующих на стержень в задаче.

Уравнение a1 тождественно равно
m(A*R) = mg*cos(f) + p1 + p2

Уравнение a2 тождественно равно
m (A*L) = -mg*sin(f)

Для решения уравнения a2 перейдем в неинерциальную сиcтему координат с радиальной и касательной осям.

Уравнение a2 будет иметь вид:

mr*f'' = -mg*sin(f) - J*f''/r

После простых преобразований получаем уравнение маятника.

(m*r*r + J) * f'' + mgr*sin(f) = 0

Если заданы начальные значения угла f и угловой скорости f' в некоторый момент времени, то это дифференциальное уравнение второго порядка, однозначно определяет положение стержня в любой последующий момент времени.

Задача решена. Никакого бесконечного множества решений - нет. Никакой неопределенности граничных условий - нет.

Ответы на вопросы, поставленные в рассматриваемой задаче (первое сообщение в этом обсуждении:
- стержень будет двигаться вниз по кольцам, левитации не будет;
- кинетический момент стержня изменяется за счет действия пар сил со стороны колец.

Теперь уменьшим толщину стержня в 100000000000000000000000 раз, оставляя значения остальных параметров прежними.

Решение задачи не изменилось.

Устремляя d к 0, получаем, что решение задачи не меняется.

Таким образом решение справедливо для сколь угодно тонкого стержня, в пределе - бесконечно тонкого стержня.

PS
Да, в этой задаче нельзя найти M1, M2, P1 и P2; по отдельности. Такая ситуация типична для задач Ньютоновской механики с несколькими опорами. В задаче и не требовалось находить значения этих параметров.

Когда Вы писали о бесконечном множестве решений, Вы писали не об этом. Вы писали о решениях для движения стержня

У меня тоже есть решение. Причём очень много решений. Например, стержень в верхнем положении будет висеть. Очень хорошее и очень правильное решение. Ничему не противоречит.

я полностью решил Вашу задачу и показал Вам, что она в исходной форме неразрешима, а при снятии невозможного ограничения T1=T2=0 - имеет бесконечное множество решений

PPS
И не надо демагогии, пожалуйста. Как говорится - "Будьте мужчиной"

[El Selenita]

Итак, напишите, пожалуйста....

Ну хорошо, пишу, хотя это уже выглядит театром абсурда. <...>

Итак.

К бесконечно тонкому стержню мы придем путем предельного перехода и посмотрим, влияет ли на что-нибудь толщина стержня.

<...>

Толщина стержня: d.

<...>

Плечо каждой пары сил равно d/2.

<...>

Абсолютная величина сил S1 и T1 равна абсолютной величине 2*M1/d.
Абсолютная величина сил S2 и T2 равна абсолютной величине 2*M2/d.

Нет. Это действительно абсурд. Зачем Вы всё это писали? Я же говорил - вернитесь к ИСХОДНОЙ задаче. Вы забыли, какая у Вас исходная задача? Я напомню ещё раз:

"Все размеры указанных тел, кроме радиусов колец и длины стрежня равны 0"

- это ВАШИ слова. Зачем же Вы теперь берёте стержень ненулевой толщины? Это другая задача, не тратьте на неё время. Вернитесь к исходной задаче, где у Вас d = 0.

Или Вы сейчас пишете уравнения с d = 0? Тогда у Вас, выходит, бесконечные силы и плечи сил, равные нулю? Но Вы сами заявляли, что бесконечных сил у Вас в задаче нет. А если плечи равны нулю, то моменты сил у Вас равны нулю, какими бы ни были сами силы, хоть трижды бесконечными.

Не нужно этого абсурда - вернитесь к исходной задаче и напишите, наконец, ту простейшую вещь, что я Вас попросил. Не нужно писать простыни на посторонние темы с решением посторонних задач. Что Вам мешает написать такую простую вещь?

Опять же:

В соответствии с определением пары сил:
S1+T1=0
S2+T2=0

- почему Вы вообще решили, что это ПАРА сил? Из какого начального условия это следует? Где в начальном условии имеется ограничение или связь, заставляющая эти силы быть равными по модулю и противоположными по направлению? Вы этого не указали, а откуда-то с потолка называете эти силы "парами" и пишете эти два уравнения. На каком основании?

mA=mG+P1+P2 + (S1+T1) + (S2+T2) (уравение сил в векторном виде)

Jf''=M1+M2 (уравнение моментов в скалярном виде)
<...>
Для решения уравнения a2
<...>

Зачем Вы пишете решение задачи, которая имеет к исходной крайне туманное отношение? В Ваших уравнениях, я полагаю, d <> 0? Зачем мне решение такой задачи (тем более, что я не просил ничего решать вообще)? Вернитесь к исходной задаче. Если в написанных Вами уравнениях положить d = 0, как в Вашей исходной постановке, то окажется, что сумма моментов равна нулю, а потому Ваше решение с вращающимся стержнем улетает понятно куда. Или у Вас силы с нулевым плечом могут создавать ненулевые моменты? Тогда ещё раз - изложите своё понимание момента сил, оно в таком случае сильно отличается от того, что называется моментом в классической механике.

Теперь уменьшим толщину стержня в 100000000000000000000000 раз, оставляя значения остальных параметров прежними.

Решение задачи не изменилось.

Устремляя d к 0, получаем, что решение задачи не меняется.

Таким образом решение справедливо для сколь угодно тонкого стержня, в пределе - бесконечно тонкого стержня.

Как же оно справедливо, если для d = 0 у Вас моменты оказываются равными 0? Как такое возможно? В пределе d = 0 у Вас изменяются сами сами уравнения - Ваши моменты исчезают, уравнение моментов исчезает тождественно. Ваше решение становится уже просто ошибочным в Вашей постановке - или у Вас силы с нулевым плечом начинают создавать ненулевой момент???

PS
Да, в этой задаче нельзя найти M1, M2, P1 и P2; по отдельности. Такая ситуация типична для задач Ньютоновской механики с несколькими опорами. В задаче и не требовалось находить значения этих параметров.

Когда Вы писали о бесконечном множестве решений, Вы писали не об этом. Вы писали о решениях для движения стержня

У меня тоже есть решение. Причём очень много решений. Например, стержень в верхнем положении будет висеть. Очень хорошее и очень правильное решение. Ничему не противоречит.

Безусловно, пока что у Вас имеется множество РЕШЕНИЙ, которые ПОКА ЧТО, как Вам ошибочно представляется, не приводят к множественности УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ (а это не одно и то же, как Вам могло бы показаться). Так что пока Вы можете держаться за то, что, мол, имели в виду не решения, а уравнение движения.

Впрочем, это Вам никак не поможет, потому что Вы неправильно решили собственную задачу. Правильное решение я продолжают от Вас ждать. Надеюсь, в нём силы с нулевым плечом не станут создавать ненулевых моментов - иначе Вы действительно станете ревизионистом ньютоновой механики.

И не надо демагогии, пожалуйста. Как говорится - "Будьте мужчиной"

Да я стараюсь, спасибо. Так что там с бесконечными силами и неопределённостью начальных условий?

[El Selenita]

На какое чудо Вы надеетесь? Ненулевых тангенциальных сил не будет.

Кстати, куда они денутся? Пока предельный переход не выполнен, они всегда есть (в смысле, есть перпендикулярные оси стержня проекции сил), и они асимптотически приближаются к предельному значению при уменьшении d. Как они могут вдруг скачком исчезнуть? Если они у Вас исчезли - значит, Вы неправильно выполнили предельный переход. Попробуйте выписать перпендикулярные оси стержня проекции сил при ненулевом d и выполните предельный переход ПРАВИЛЬНО. Ну или во всяком случае выпишите здесь выражения для перпендикулярных оси стержня проекций сил для ненулевого d и покажите, каким-таким образом они у Вас исчезают в предельном переходе.

...Действительно, абсурд уже какой-то... Силы, создающие ненулевые моменты при нулевом плече, в неведомые края исчезающие ненулевые проекции... Тут Вы уже не просто основы ньютоновой механики ниспровергаете, но даже основы матанализа...

[ДалекийГость]

Повтор.

[ДалекийГость]

Надеюсь, в нём силы с нулевым плечом не станут создавать ненулевых моментов - иначе Вы действительно станете ревизионистом ньютоновой механики.

Силы, создающие ненулевые моменты при нулевом плече, в неведомые края исчезающие ненулевые проекции... Тут Вы уже не просто основы ньютоновой механики ниспровергаете

Я не ревизионист и отнюдь не ниспровергаю основы ньютоновской механики, а, наоборот, пытаюсь их Вам объяснить при активном сопротивлении с Вашей стороны.

В Ньютоновской механике пара сил может быть приложена к точке и вполне могут быть ненулевые моменты силы при нулевом плече. Об этом написано в любом учебнике по механике.

Вот простой пример.

Жесткий стержень, толщина которого равна 0, жестко прикреплен к перпендикулярной ему оси. Ось вращается с переменной угловой скоростью. Масса стержня не равна 0.

Очевидно, что кинетический момент стержня изменяется. Это происходит потому, что на точку крепления стержня к оси со стороны  оси действует ненулевой момент силы.

Представляете? Плечо в этой точке крепления равно 0, а момент силы не равен 0! Вот такая она загадочная - эта самая Ньютоновская механика!

Не сомневаюсь, что и в этой задаче Вы бы стали искать тангенциальные силы даже в оси, толщина которой равна 0. Такой ошибочный подход , увы,  не редкость.


Предельный переход для d стремящегося к 0, я делал чтобы Вам было более понятно. Если Вам пока еще не стало понятным, то я предлагаю подумать над примером из этого сообщения. Он более прост, чем рассматриваемая задача. Только после того, как он станет Вам понятным мы с Вами сможем дальше обсуждать рассматриваемую задачу.

Так что там с бесконечными силами и неопределённостью начальных условий?

Мы обязательно дойдем и до них. Только постепенно. Давайте не будем параллельно вести несколько вопросов. Ладно? Вот закончим с вопросом о том может ли быть в Ньютоновской механике ненулевой момент силы, приложенный в точке, и пойдем дальше. Следующим будет вопрос о том какими могут быть силы в точке касания стержня с кольцами.

К сожалению я не знаю уровня Вашего образования по физике, поэтому непонятно насколько сложными или простыми должны быть мои объяснения. Если не хотите, то не говорите. Если скажите, то мне станет проще подбирать аргументы.

[El Selenita]

В Ньютоновской механике пара сил может быть приложена к точке и вполне могут быть ненулевые моменты силы при нулевом плече. Об этом написано в любом учебнике по механике.

Вот простой пример.

Жесткий стержень, толщина которого равна 0, жестко прикреплен к перпендикулярной ему оси. Ось вращается с переменной угловой скоростью. Масса стержня не равна 0.

Очевидно, что кинетический момент стержня изменяется. Это происходит потому, что на точку крепления стержня к оси со стороны  оси действует ненулевой момент силы.

Это невозможный в ньютоновой механике пример. Ньютонова механика этого не позволяет. Стержень нулевой толщины не может передавать момент к оси нулевой толщины и наоборот - такая связь в ньютоновой механике невозможна.

Вы, очевидно, пребываете в заблуждении, что любая идеальная связь, которую Вы способны придумать, может существовать и в ньютоновой механике - только лишь потому, что Вы смогли её придумать. Однако это неверно.

Вы можете условно пользоваться подобными связями, изображая, скажем, механизм кривошипа - но лишь потому, что Вы всегда можете заменить её аналогичной связью (с осью конечного размера) и лишь до тех пор, пока Вы вообще не задаётесь вопросом о моменте в данной конкретной точке. Такая связь в кривошипе не позволяет задаваться вопросом о моменте в данной точке, т. е. о механизме передачи момента. Как только вопрос возник - необходим переход к другой связи. Это как с обычным бесконечно тонким бесконечно жёстким стержнем: Вы можете считать его таковым лишь до тех пор, пока не возникает вопрос о моменте силы растяжения, приложенной к конкретной точке, относительно этой точки.

Представляете? Плечо в этой точке крепления равно 0, а момент силы не равен 0! Вот такая она загадочная - эта самая Ньютоновская механика!

Это не ньютонова механика. Это механика ДалекогоГостя. С чего Вы взяли, что это ньютонова механика?

В механике ДалекогоГостя, очевидно, какое-то свое, оригинальное понимание момента сил, которое ничего общего не имеет с ньютоновой механикой. Вспомните, каково ОПРЕДЕЛЕНИЕ момента сил в ньютоновой механике и попробуйте его соотнести со своим собственным пониманием. Попробуйте рассмотреть Ваш собственный пример с точки зрения определения момента сил в ньютоновой механике.

Давайте не будем параллельно вести несколько вопросов. Ладно? Вот закончим с вопросом о том может ли быть в Ньютоновской механике ненулевой момент силы, приложенный в точке, и пойдем дальше.

Момента силы при нулевом плече силы в ньютоновой механике быть не может. По определению момента силы.

Прежде, чем пойти дальше, Вам придётся изложить свое понимание момента силы и соотнести Ваше понимание с действующим определением.

К сожалению я не знаю уровня Вашего образования по физике

PhD по теорфизике.

[ДалекийГость]

Это невозможный в ньютоновой механике пример.

Давайте выясним что здесь невозможного.

Итак, я перечислю то, что есть в этом примере, а Вы скажите, что из этого списка по Вашему мнению невозможно в Ньютоновской механике:

1. Стержень - жесткий
2. Толщина стержня равна 0
3. Масса стержня не равна 0
4. Одна точка стержня жестко прикреплена к оси
5. Стержень перпендикулярен оси
4. Ось вращается с переменной угловой скоростью.

PhD по теорфизике.

Бывает. А я принимал Вас за первокурсника.

[El Selenita]

Это невозможный в ньютоновой механике пример.

Давайте выясним что здесь невозможного.

Итак, я перечислю то, что есть в этом примере, а Вы скажите, что из этого списка по Вашему мнению невозможно в Ньютоновской механике:

1. Стержень - жесткий
2. Толщина стержня равна 0
3. Масса стержня не равна 0
4. Одна точка стержня жестко прикреплена к оси
5. Стержень перпендикулярен оси
4. Ось вращается с переменной угловой скоростью.

Какая сила заставляет "ось <вращаться> с переменной угловой скоростью"? Каково плечо этой силы относительно оси? (Кстати, какова толщина оси?)

[ДалекийГость]

Какая сила заставляет "ось <вращаться> с переменной угловой скоростью"? Каково плечо этой силы относительно оси?

Да какая угодно сила. Например, к этой же оси прикреплен другой стержень, а к нему пружина закрепленная на неподвижной стене. Вся система совершает колебания. Нужно ли мне добавить пружину, второй стержень и неподвижную стену в список потенциально невозможного в Ньютоновской механике?

(Кстати, какова толщина оси?)

Равна 0.

[piton]

Какая сила заставляет "ось <вращаться> с переменной угловой скоростью"? Каково плечо этой силы относительно оси?

Да какая угодно сила. Например, к этой же оси прикреплен другой стержень, а к нему пружина закрепленная на неподвижной стене. Вся система совершает колебания. Нужно ли мне добавить пружину, второй стержень и неподвижную стену в список потенциально невозможного в Ньютоновской механике?

(Кстати, какова толщина оси?)

Равна 0.

Граждане... не надо абсурда Если ось вращения имеет материальную природу но ее толщина, ака диаметр поперечного сечения, равна нулю, она в этой плоскости (плоскости поперечного сечения) по определению вращаться не может. Бо вращение есть что? Правильно - тип движения тела(!), при котором ВСЕ точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой. Итог? Если сечением является одна единственная точка, то вокруг себя самой она вращаться не может. В силу того что нет координаты в этом направлении Так что ДГ, Ваш идеализированный пример не подходит. Если ось вращения - суть есть математическое а не физическое определение, то есть направление, вокруг которого происходит вращение стержня, то это возможно и повсеместно используется, если же Вы представили что ось - суть есть стержень нулевой толщины, Вы получаете абсурд по-определению...  

[ДалекийГость]

Если бы я знал, что теорфизика, я бы попроще пример привел.

Один конец горизонтального жесткого стержня (с толщиной равной 0) закреплена в стене, а на другом находится груз. Какая сила, действующая на закрепленный конец стержня уравновешивает вес груза?

[El Selenita]

В Ньютоновской механике пара сил может быть приложена к точке и вполне могут быть ненулевые моменты силы при нулевом плече. Об этом написано в любом учебнике по механике.

Кстати, будьте добры, дайте ссылку на соответствующий учебник. Только не на любой, а на конкретный. Страницу тоже желательно указать.

(Вот у меня тут Савельев лежит - он, наверное, не подойдёт? Ландавшиц дома лежит - он, может, подойдёт? Сборник задач Батя, Джанелидзе, Керзона, там с теорчастью, вроде - подойдёт или нет? Вы только назовите учебник и страницу. Если вдруг какой-то редкий, то я буду просто благодарен за цитату.)

[ДалекийГость]

Повтор сообщения.