Левитация в Ньютоновской механике

[El Selenita]

Вы хотите сказать, что в горизонтальном положении стержень останется неподвижным?

Это одно из возможных решений, если соответствующим образом задать краевые условия.

И о какой танценциальной состовляющей вы говорите, если реакция в случае гладких поверхностей всегда направлена по нормали к поверхности?

Почему Вы так решили? Это верно для конечных поверхностей, но в вырожденном случае касания поверхности точечным концом бесконечно тонкого стержня это ниоткуда не следует.

Вы просто пытаетесь объяснить парадокс, которого не существует, "притянуть за уши" ответ, так сказать. Ничего не нарушается: и Ньютон доволен, и батюшка Лагранж в гробу не переворачивается. Ничего не нарушается - нечего строить огромные конструкции для довольно-таки простой модели.

Там нет ничего сложного, ничего не нарушается, всё в полном порядке. Но если Вы допускаете возможность свободных колебаний в этой системе - Вам придётся допустить возникновение тангенциальных сил. Потому что вращательное движение стержня вокруг его ц. м. неизбежно, это вращение связано с моментом внешних сил, и этот момент может проистекать только из реакций опоры. Тангенциальных, бо радиальные реакции стержень вращать ускоренно не могут.

[ДалекийГость]

Так вы не ответили про характер отверстия.

Извините, пожалуйста. Я наверное что-то пропустил. Характер отверстия такой же как и в бусинках, которые рассматриваются в задачах о точечных бусинках на кольце. Вы уточните вопрос, что именно Вас интересует?

[El Selenita]

Я Вам объяснил, откуда.

Не на словах, а с помощью формул.  Можно без конечного решения. Просто формулы, объединияющие все введенные переменые.

Формул ЧЕГО? Не понимаю, что Вы спрашиваете. При решении лагранжевым методом силы реакции опоры находятся опосля, исходя из полученных ускорений. Уравнение движения решено, ускорения получены - из него вычисляются реакции связей.

...Я не говорю, что Ваш лагранжиан неприемлем. Он приемлем - но при определённых условиях. Которые Вы явно не задали, но которые неявно следуют из того вида, который Вы лагранжиану придали. Это по определению неполный лагранжиан (из-за этого произошло нарушение закона сохранения импульса), этот лагранжиан не учитывает потенциальную энергию связей (но это не создаёт в данном случае проблем, если Вы ДЕЙСТВИТЕЛЬНО ХОТИТЕ получить свободные колебания в системе).

Однако никогда не надо забывать, что проигнорированные Вами в лагранжиане факторы СУЩЕСТВУЮТ, и что задав форму лагранжиана, Вы УЖЕ неявно присвоили этим факторам определённые, вполне конкретные величины (например, массе Земли - бесконечно большую величину, деформациям связей - бесконечно малую величину, и т. п.) Только такое неявное присваивание позволило Вам пользоваться тем лагранжианом, что Вы написали. Среди тех факторов, которые Вы неявно внесли в лагранжиан, были и конкретные величины реакций связи - Вы неявно указали, что эти реакции МОГУТ И БУДУТ такими, как они у Вас получатся. Но они могут быть и другими - и тогда будет другой лагранжиан. Вы это забываете.

И вот то, что Вы написали лагранжиан именно так, а не иначе - это как раз и определяет величину тангенциальных реакций. Точно так же, как это определяет величину нормальных реакций. Причём тангенциальные реакции у Вас совершенно строго привязаны к нормальным реакциям. Абсолютно так же, как это происходит в примере с клиньями - там тоже тангенциальные строго привязаны к нормальным реакциям, и определяются геометрией задачи.

[Seven of Nine]

Не хуже, просто хотелось бы узнать будет ли стержень вращаться относительно именно центра масс.

Позвольте тогда мне вас попросить записать уравнение Лагранжа, рассматривая движение в системе отсчета, связанной с центром масс стержня.

Там нет ничего сложного, ничего не нарушается, всё в полном порядке. Но если Вы допускаете возможность свободных колебаний в этой системе - Вам придётся допустить возникновение тангенциальных сил. Потому что вращательное движение стержня вокруг его ц. м. неизбежно, это вращение связано с моментом внешних сил, и этот момент может проистекать только из реакций опоры. Тангенциальных, бо радиальные реакции стержень вращать ускоренно не могут.

О, я нисколько не пытаюсь вас здесь опровергнуть, я согласен, что возникают касательные усилия (я recall in memory знания насчет реакций за это время). Только пытаюсь сказать, что с практической точки зрения нет смысла решать эту задачу, опираясь на движение вокруг центра масс. Ну разве что показать постоянство законов физики.

[El Selenita]

Там нет ничего сложного, ничего не нарушается, всё в полном порядке. Но если Вы допускаете возможность свободных колебаний в этой системе - Вам придётся допустить возникновение тангенциальных сил. Потому что вращательное движение стержня вокруг его ц. м. неизбежно, это вращение связано с моментом внешних сил, и этот момент может проистекать только из реакций опоры. Тангенциальных, бо радиальные реакции стержень вращать ускоренно не могут.

О, я нисколько не пытаюсь вас здесь опровергнуть, я согласен, что возникают касательные усилия (я recall in memory знания насчет реакций за это время). Только пытаюсь сказать, что с практической точки зрения нет смысла решать эту задачу, опираясь на движение вокруг центра масс. Ну разве что показать постоянство законов физики.

Дело не в методе решения, а в подходе автора задачи к своей задаче. Он пытается заявить (глобально), что сил вообще не существует. А возникновение касательной реакции для него вообще необъяснимо, он знает, что она должна быть, но убеждён, что согласно ньютоновой динамике, её быть не может. И на этом зыбком основании пытается объявить ньютонову динамику неправильной и противоречащей лагранжевому методу. Каковой возводит в абсолют.

[ДмитрийК]

Участник ДмитрийК написал, что если длина стержня больше разницы радиусов (стержень направлен не по нормали), то все будет без проблем, потому что силы реакции опор будут создавать момент сил.

Я его  спросил из чего следует, что этот момент сил направлен в именно в ту сторону, которая требуется для опускания стержня. Он не ответил.

Вы путаете причину со следствием. Стержень начинает двигаться вниз под действием силы тяжести, при этом со стороны опор действуют силы и моменты заставляющие тело двигаться и поворачиваться в соответствии с геометрией опор.

Можете сами нарисовать и расписать суммы сил, все там в порядке, уверяю вас. Т.н. если стержень ориентирован так что его внешний конец изначально расположен чуть выше внутреннего, то силы опор будут растягивать стержень и наоборот.

[Seven of Nine]

Дело не в методе решения, а в подходе автора задачи к своей задаче. Он пытается заявить (глобально), что сил вообще не существует. А возникновение касательной реакции для него вообще необъяснимо, он знает, что она должна быть, но убеждён, что согласно ньютоновой динамике, её быть не может. И на этом зыбком основании пытается объявить ньютонову динамику неправильной и противоречащей лагранжевому методу. Каковой возводит в абсолют.

Ну, можно безболезненно заменить силы на "некие сущности, которые изменяют количество движения". Суть от этого не изменится.
Человек наверное имел ввиду то, что идеализация задачи (полное отсутствие трения - тангенциальных сил) приводит к невозможности вращения тела, которое выходит из ур. Л. На мой взгляд, здесь было бы проще сделать вывод, что модель уж очень сильно идеализирована.  Тем более, уравнение было приведено длядвижения тела вокруг неподвижной точки - в инерциальной системе отсчета то есть. Если бы он попытался записать это уравнение в системе отсчета, связанной со стержнем, в своей идеализации, то был бы приятно удивлен  :wink:

[ДалекийГость]

Т.н. если стержень ориентирован так что его внешний конец изначально расположен чуть выше внутреннего, то силы опор будут растягивать стержень и наоборот.

То есть получается, что если длина стержня станет чуть-чуть больше разницы радиусов, то силы опор еще больше растянут стержень и так далее?

[ДалекийГость]

можно безболезненно заменить силы на "некие сущности, которые изменяют количество движения". Суть от этого не изменится.

Суть в том, что эти "некие сущности" непонятно чему равны и непонятно откуда берутся.

модель уж очень сильно идеализирована.

Плохая модель, нехорошая.

Позвольте тогда мне вас попросить записать уравнение Лагранжа, рассматривая движение в системе отсчета, связанной с центром масс стержня.

Все будет точно таким же.

[Seven of Nine]

Суть в том, что эти "некие сущности" непонятно чему равны и непонятно откуда берутся.

А закон Гука, всякие там теории гравитации, электромагнетизм?

Плохая модель, нехорошая.

Хоть в чем то мы согласны. :roll:

Все будет точно таким же.

Из него загадочным образом исчезнет сила тяжести, которая не совершает работы в таком случае. Откуда берется движение?

[ДалекийГость]

Формул ЧЕГО? Не понимаю, что Вы спрашиваете.

Формул Вашего решения этой задачи. Формул, показывающих как связаны координаты, определющие положение стержня, с другими параметрами системы. Можно не в виде конечного решения. Просто хоть какой-нибудь набор формул, описывающий Ваше решение. Набор формул, а не слов.

[ДалекийГость]

А закон Гука, всякие там теории гравитации, электромагнетизм

Вы тоже не покажите никаких формул, описывающих Ваше решение этой задачи?

Из него загадочным образом исчезнет сила тяжести, которая не совершает работы в таком случае. Откуда берется движение?

Сила тяжести не исчезает. О какой-то работе говорите Вы, а не я. Движение берется из-за того, что потенциальная энергия переходит в кинетическую и наоборот.

[Seven of Nine]

Вы тоже не покажите никаких формул?

Sigma=E*Eps

Сила тяжести не исчезает. О какой-то работе говорите Вы, а не я. Движение берется из-за того, что потенциальная энергия переходит в кинетическую.

О какой потенциальной энергии идет речь? Допустим, вы связали систему отсчета с центром масс тела. Пусть его оси будут все время коллинеарны осям некоторой внешней системы координат, связанной с поверхностью Земли например. Обобщенная координата в этом случае - угол поворота стержня (одна степень свободы). Кинетическая энергия T=1/2*I*w^2. Все! Потенциальная энергия системы постоянна - разве сила тяжести меняет точку приложения (соверашет работу)? А про опоры мы считаем, что они неупругие. Диссипативные силы отсутствуют.

[jettero]

Так вы не ответили про характер отверстия.

Извините, пожалуйста. Я наверное что-то пропустил. Характер отверстия такой же как и в бусинках, которые рассматриваются в задачах о точечных бусинках на кольце. Вы уточните вопрос, что именно Вас интересует?

вопрос был такой

Мой вопрос не про систему в целом, а про характер дырки в задаче – допускает ли дырка, по своей конструкции, направление стержня не по нормали?

другими словами передается ли крутящий момент со стержня на кольцо?

[ДалекийГость]

Eps=EF

Я так и думал.

О какой потенциальной энергии идет речь?

О потенциальной энергии гравитационного поля.

Потенциальная энергия системы постоянна

Потенциальная энергия системы в гравитационном поле не постоянна, она зависит от положения центра масс в пространстве.

[ДмитрийК]

Сухое трение зависит от сил реакции опоры, которые в данной системе изменяются в процессе движения стержня.

Ну слава богу. Значит силы все-таки для чего-то нужны.

Поэтому поставленная Вами задача не является тривиальной. Думаю, что Вы и сами это понимаете, поэтому Ваше требование решить такую задачу было несерьезным. Хотя, конечно, при желании и эту задачу можно решить.

Тем не менее у задачи есть ответ и достаточно простой - наличие любого, даже самого маленького сухого трения приведет к тому что стержень мертво заклинит в начальной точке (при условии абсолютной жесткости и точности размеров конструкции). Если граничные условия расслабить (напр. введя люфт или упругость) то можно получить и более интересный результат. Ур-я получаются кучерявые из-за обилия тригонометрии но по крайней мере есть с чего начать.

Но это все в рамках нормальной ньютоновской механики.

Если Вам очень нужно, чтобы я ввел какое-нибудь трение в эту задачу, то, пожалуйста, добавляю постоянное трение.
К потенциальной энергии прибавится K*f, уравнение движение будет иметь вид:
G*f'' + mg*sin(f) + K = 0

Я не зря поинтересовался куда уважаемый господин собрался засунуть к-цт трения. И был прав. Товарищ засунул его в ... (господа офицеры, молчать!)... лагранжиан! Получилась как и следовало ожидать полная ахинея.

Во-первых, непонятно что такое К или хотя бы какой оно размерности. Из того что написано, похоже что К имеет размернось толи силы толи энергии. Если так то непонятно откуда эту величину брать, кц-т трения как известно безразмерный. Во-вторых в ур-ии движения трение не зависит ни от координаты ни от скорости и все время действует в одну и ту же сторону. Ну а самое главное - силы трения никогда не были потенциальными и посему в лагранжиане им делать нечего.

На самом деле я конечно слукавил (случайно) - сухое трение очень противная нелинейная штука, с которой трудно иметь дело  аналитически. Ну давайте для упрощения возьмем вязкое трение F=-mu*V. Флаг вам в руки запихать его в лагранжиан.

[ДалекийГость]

допускает ли дырка, по своей конструкции, направление стержня не по нормали?

Ну, предположим, так. Каждая дырка в отдельности допускает произвольные повороты стержня вокруг себя, то есть вокруг точки касания стержня и кольца.

другими словами передается ли крутящий момент со стержня на кольцо?

Это очень хороший вопрос. Я бы сформулировал его по-другому.

Может ли в Ньютоновской механике существовать момент сил без сил?

[ДмитрийК]

Т.н. если стержень ориентирован так что его внешний конец изначально расположен чуть выше внутреннего, то силы опор будут растягивать стержень и наоборот.

То есть получается, что если длина стержня станет чуть-чуть больше разницы радиусов, то силы опор еще больше растянут стержень и так далее?

Стержень будет колебаться как маятник, при движении в одну сторону силы опор будут пытаться его растянуть, в другую сторону - сжать. В какую именно - зависит от начального положения.

[ДалекийГость]

Во-первых, непонятно что такое К или хотя бы какой оно размерности. Из того что написано, похоже что К имеет размернось толи силы толи энергии. Если так то непонятно откуда эту величину брать, кц-т трения как известно безразмерный. Во-вторых в ур-ии движения трение не зависит ни от координаты ни от скорости и все время действует в одну и ту же сторону. Ну а самое главное - силы трения никогда не были потенциальными и посему в лагранжиане им делать нечего.

Я же написал

добавляю постоянное трение

В Ваших терминах, К - величина постоянного момента трения. Жаль, что Вы не поняли.
Это трение вполне потенциальное и нормально существует в лагранжиане.

[ДмитрийК]

В Ваших терминах, К - величина постоянного момента трения. Жаль, что Вы не поняли.

Да уж, учитывая что момент трения:
 а) непостоянный, менятся как по величине так и по направлению
 б) неизвестный, известен только безразмерный к-цт. Вопрос как раз и заключался в том как именно его вычислить (с чего хотя бы начать).

Это трение вполне потенциальное и нормально существует в лагранжиане.

:shock:  :shock:  :shock:  :lol:  :lol:  :lol: Без слов... в рамку и на стену!