Левитация в Ньютоновской механике

[ДалекийГость]

А тот урок когда учитель объяснял что это одно и тоже и показывал как одно из другого выводится вы очевидно проспали?

Нет, не проспал. Лагранжева и Гамильтонова механика по отношению к Ньютоновской - это как математический анализ по отношению к арифметике. Из принципа наименьшего действия можно вывести ОТО.

[ДалекийГость]

Пока я вижу только один "спасательный круг", предложенный для Ньютоновской механики. Это бесконечная по величине сила, вызванная несуществующей деформацией абсолютно твердого тела.

Подаю заявку на:

4-й закон Ньютона.
Если не получается решить задачу, то нужно ввести бесконечную по величине силу, вызванную несуществующим явлением.

[ДалекийГость]

декларируя, что сил трения вообще нет никогда

Не придумывайте ничего за меня. Я никогда не декларировал, что "сил трения вообще нет никогда". Я объяснил, что эта задача решается и без сил трения и с силами трения. Если силы трения компенсируют силу тяжести, то стержень будет висеть. Если нет, то будет падать.
Конечно, можно неким искусственным способом ввести такие силы трения, чтобы в Ньютоновской механике получить какое-то подобие осмысленного результата этой задачи. Но такое введение сил трения противоречит здравому и физическому смыслу. Силы трения, они же тангенциальные составляющие силы реакции опоры, зависят от материалов соприкасающихся тел, силы взаимодействия соприкасающихся тел и относительной скорости их движения. (Ну еще температуры и т.п) Они не могут принимать произвольные значения, требующиеся кому-то чтобы подогнать решение под ответ.

[ДмитрийК]

Пока я вижу только один "спасательный круг", предложенный для Ньютоновской механики. Это бесконечная по величине сила, вызванная несуществующей деформацией абсолютно твердого тела.

И нужна она только потому что у вас такие особые граничные условия.

Весь "парадокс" появляется только потому что "очевидно что стержень всегда направлен вдоль радиуса и потому силы реакции опоры проходят через центр масс стержня."

Однако хотя это и очевидно но далеко не факт

В условиях задачи этого нет. То что стержень всегда направлен вдоль радиуса это следствие, а причина в том что длина стержня с абсолютной точностью равна расстоянию между рельсами.
Если стержень сделать хоть чуть-чуть короче то задача не имеет решения вообще. Если наоборот, сделать стержень чуть чуть длиннее то он уже не будет направлен вдоль радиуса, силы реакции опор не будут проходить через центр масс и все решается легко и непринужденно безо всяких бесконечностей (но замечу будет 2 решения в зависимости от того в какую сторону перекошен стержень).

Хотя бы из этого видно что ваши условия - особая точка на самой границе области допустимых значений. Чему же тут удивляться?

А если вам не нравится ньютонова механика то пожалуйста, подсчитайте в вашей задаче силу в стержне с помощью той механики которая вас устраивает. Отмазка что вам лично силы не интересны не принимается.

[jettero]

2) В случае с подвешенным за  конец стержнем.
Стрежень участвует одновременно в поступательном и вращательном движении. Как и с точечной массой, поступательное движение ц. м. связано с одновременным действием силы тяжести и силы реакции подвеса: горизонтальная реакция отвечает за ускоренное горизонтальное перемещение ц. м., сумма вертикальной реакции и силы тяжести - за ускоренное вертикальное движение ц. м.
Вращение стержня происходит исключительно за счёт силы реакции подвеса, а именно, за счёт его тангенциальной составляющей (относительно стержня). При этом, между прочим, ВАЖНО ОТМЕТИТЬ: полная сила реакции опоры вовсе даже не направлена радиально, вдоль стежня! (как это имело место в случае точечной массы на нерастяжимой нити). Полная сила реакции опоры ОБЯЗАТЕЛЬНО имеет составляющую, перпендикулярную стержню (т. е. тангенциальную составляющую) - именно она и заставляет стержень вращаться. Более того, если мы хотим решить задачу о силах, приложенных к висящему стержню, то в систему обязательно надо включать уравнение, приравнивающее момент, создаваемый этой тангенциальной составляющей, к моменту инерции, помноженному на угловую скорость вращения. Поэтому два стержня равной массы и с центром масс на одном расстоянии от подвеса будут колебаться по-разному, если РАСПРЕДЕЛЕНИЕ масс внутри них различно. В целом же, задача решается элементарно.

Если тела идеальные и размерности гайки и толщины кольца равны 0, я думаю тут все проще получается. В начальный бесконечно малый момент времени стержень просто падает вертикально вниз (нет трения). А дальнейший поворот стержня обеспечивается изменением вектора реакции опоры, которая будет иметь и тангенциальную составляющую. Это следует из того, что дельта угла поворота стержня при t->0 стремится к нулю с той же скоростью что и дельта пройденного сектора кольца (предел их отношений равен радиусу кривизны траектории, то есть это величины одного порядка малости)

[ДалекийГость]

Если наоборот, сделать стержень чуть чуть длиннее то он уже не будет направлен вдоль радиуса, силы реакции опор не будут проходить через центр масс и все решается легко и непринужденно безо всяких бесконечностей

Пусть стержень чуть длинее радиуса. Точка касания стержня на внешнем кольце чуть выше точки касания стержня на внутреннем кольце.
Момент каких сил вращает стержень в нужную Вам сторону?
(то есть так, чтобы центр масс стержня опуcкался вниз)
Сил трения и деформации стержня нет.

[El Selenita]

Прошу прошения у уважаемого 7-40. Я был не прав, вспылил. Я просто "горячий религиозный парень".

Никаких проблем, это моя вина, я сам прошу прощения...

[ДмитрийК]

Момент каких сил вращает стержень в нужную Вам сторону?

он уже не будет направлен вдоль радиуса, силы реакции опор не будут проходить через центр масс

[Бродяга]

7-40 и что это за тангенциальная сила со стороны верёвки?

[ДалекийГость]

Момент каких сил вращает стержень в нужную Вам сторону?

он уже не будет направлен вдоль радиуса, силы реакции опор не будут проходить через центр масс

Да, и моменты сил реакции опор в сумме могут создать ненулевой момент сил. Но почему этот момент сил должен направлен в нужную Вам сторону? Может он будет действовать в противоположную?

[El Selenita]

А тот урок когда учитель объяснял что это одно и тоже и показывал как одно из другого выводится вы очевидно проспали?

Нет, не проспал. Лагранжева и Гамильтонова механика по отношению к Ньютоновской - это как математический анализ по отношению к арифметике.

Не вполне, не вполне.

Из принципа наименьшего действия можно вывести ОТО.

Никаким макаром. Можно вывести следствия ОТО - это да. Но постулаты ОТО никак из ПНД не следуют.

ДалекийГость, Вы, имхо, восприняли ландавшица слишком близко к сердцу, но некоторые основные вещи пропустили...

[ДалекийГость]

Можно вывести следствия ОТО - это да. Но постулаты ОТО никак из ПНД не следуют.

Уравнения ОТО получаются с помощью принципа наименьшего действия, примененного к действию Гилберта (Энштейна-Гилберта). Именно так Гильберт вывел уравнения ОТО. И сделал это раньше, чем Энштейн.

[El Selenita]

Я никогда не декларировал, что "сил трения вообще нет никогда". Я объяснил, что эта задача решается и без сил трения и с силами трения.

Никак не решается. Пока Вы не определили начальные условия дОлжным образом (т. е., прямо или косвенно, не ввели силы трения) - Вы не решите задачу. Вы просто лагранжиан не составите. Вот Дмитрий составил лагранжиан - но это лишь один из возможных лагражианов.

Если силы трения компенсируют силу тяжести, то стержень будет висеть. Если нет, то будет падать.

Именно так. И именно поэтому Вам придётся в формулировке явно или неявно указать, каковы силы трения в исходном положении.

Конечно, можно неким искусственным способом ввести такие силы трения, чтобы в Ньютоновской механике получить какое-то подобие осмысленного результата этой задачи. Но такое введение сил трения противоречит здравому и физическому смыслу. Силы трения, они же тангенциальные составляющие силы реакции опоры, зависят от материалов соприкасающихся тел, силы взаимодействия соприкасающихся тел и относительной скорости их движения. (Ну еще температуры и т.п) Они не могут принимать произвольные значения, требующиеся кому-то чтобы подогнать решение под ответ.

Вы продолжаете путать физическую сущность с математической абстракцией, хотя я Вас уже предупреждал об этом.

Вот Вы заявляете, что тангенциальные реакции опоры зависят от материалов и проч. Следовательно, здесь Вы говорите о физических силах. Но ведь нормальные реакции (физические) тоже зависят и от материалов, и от скоростей, и от температур, и проч. Тангенциальные реакции (физические) ничем принципиально не отличаются от нормальных реакций. Но почему-то к тангенциальным реакциям у Вас какие-то претензии есть, а к нормальным - нет.

Давайте ещё раз, аккуратно. Постарайтесь понять: механика НЕ РАССМАТРИВАЕТ ВООБЩЕ природу сил. Никак и нигде. Далее.
В механике (неважно, каким формализмом Вы пользуетесь, ньютоновой динамикой или лагранжевым формализмом) вводится понятие связей. Связь - это нечто, ограничивающее движение тела. При этом связи приписывается (чисто формально) способность оказывать некоторые силовые воздействия на тела. Эта способность из механики никак не следует и никаким образом к механике не относится. Вообще. Например, вводится идеально твёрдая повехность, которой приписывается способность не деформироваться вообще под воздействием любых сил. Но это идеализация - свойства реальных тело совсем другие. Или вводится уравнение сухого трения F=-k*N, где N - прижимающая сила. Но это идеализация - свойства реальных тел совсем другие. Это уравнение никак из механики не следует.

Мне кажется, Вы подпали под влияние именно этого уравнения, F=-k*N, приняли его слишком близко к сердцу и на минуту решили, что оно - часть механики, и что механика, таким образом, запрещает возникновение тангенциальных сил при нулевой прижимающей силе. И что величина коэффициента k всегда может быть выбрана произвольно.

Но это НЕПРАВДА. Это уравнение никаким образом не является частью механики. Это лишь одно из возможных уравнений связи. И оно может быть использовано далеко не всегда. Если Вы уже наложили на Вашу систему некоторые связи, то может оказаться, что наложение других связей (во всяком случае, связей определённого вида) уже оказывается невозможным, поскольку приводит к переопределённости системы.

(Вот простейший пример. Пусть два одинаковых клина - тех, по которым в школьных задачах съезжают грузы - придвинуты друг к другу остриями так, что между ними образуется треугольное пустое пространство углом вниз, симметричное относительно вертикали. Положите теперь на клинья горизонтально бесконечо тонкий стержень массой M. Посмотрите - этот стержень будет находится в равновесии. У обоих концов клин будет действовать на него с равными силами Mg/2, и эти силы будут иметь совершенно определенные проекции, как на наклонные поверхности, так и на нормали. Следовательно, величины сил трения будут определяться в этой задаче только массой стержня (и углом при клине). Коэффициент k будет иметь строго определённое значение (зависящее только от угла клина), его нельзя будет задавать произвольно. Таким образом, связь F=-k*N не будет иметь места: коэффициент k будет определяться ТОЛЬКО ГЕОМЕТРИЕЙ задачи, а никак не свойствами материалов).

Ваша задача из той же серии. Вы наложили на систему такие связи, при которых тангенциальная составляющая сил никак не может определяться связью F=-k*N. Эта связь невозможна, её наложение приведёт к переопределению задачи. Но в этом абсолютно нет проблемы, потому что эта связь не является частью механики. Ваша задача будет достаточно определена, если Вы введёте какую-либо иную связь для тангенциальной силы. Например, Вы можете ввести связь того типа, что предложил я, т. е. аналогичную нормальной (сила со стороны связи всегда в точности по модулю равна действующей на тело тангенциальной силе и противоположна ей). Это другой тип связи, отличный от F=-k*N, но с формальной точки зрения он ничем не хуже. На практике такое встречается редко, но с некоторым приближением - встречается. Однако практика тут вообще не причём, ибо речь идёт лишь о чисто математической абстракции - наложении уравнения связи. В этой же задаче возможны и другие типы тангенциальной связи (можно их задать и неявно, а потому уже из решения задачи получить сам математический закон связи). Однако вот этот конкретный тип связи - F=-k*N - невозможен.

Поэтому, ещё раз: не путайте формальные уравнения связи (никак из механики не следующие) и реальные природные силы. Уравнения связи - это математическая абстракция. Они призваны лишь моделировать природные явления с той или иной степенью точности. Однако если Вы уже создаёте некую модель, которая в природе не может иметь места в принципе - нужно быть готовым к тому, что в её рамках невозможно будет пользоваться некоторыми модельными же уравнениями связи. Вот как в примере с клиньями: из чего б Вы эти клинья не сделали, хоть из льда, но при очень узком треугольнике между ними (почти вертикальная узко сходящаяся вниз щель) коэффициенты трения всё равно получатся преогромными. В такой задаче привычная связь F=-k*N оказывается невозможной.

[El Selenita]

Если тела идеальные и размерности гайки и толщины кольца равны 0, я думаю тут все проще получается. В начальный бесконечно малый момент времени стержень просто падает вертикально вниз (нет трения).

Почему это "нет трения"? А может, есть? И стержень будет висеть под воздействием этого самого трения. Ниоткуда ведь не следует, что нет трения.

[El Selenita]

7-40 и что это за тангенциальная сила со стороны верёвки?

Без понятия. А где Вы её нашли?

[El Selenita]

Можно вывести следствия ОТО - это да. Но постулаты ОТО никак из ПНД не следуют.

Уравнения ОТО получаются с помощью принципа наименьшего действия, примененного к действию Гилберта (Энштейна-Гилберта). Именно так Гильберт вывел уравнения ОТО. И сделал это раньше, чем Энштейн.

Во-первых, сама функция действия не следует из ПНД. Во-вторых, суть ОТО не в уравнениях, а в постулатах. Можно нарисовать множество функций действия, применить к ним ПНД и получить много красивых уравнений, но пока за ними не будет установлено физического смысла, это будут не более чем математические упражнения.

[ДалекийГость]

Пока Вы не определили начальные условия дОлжным образом (т. е., прямо или косвенно, не ввели силы трения) - Вы не решите задачу. Вы просто лагранжиан не составите. Вот Дмитрий составил лагранжиан - но это лишь один из возможных лагражианов.

Ваши и мои понятия о физике вообще и о Лагранжевой механике в частности - перпендикулярны.  

Лагранжиан - это разница между кинематической и потенциальной энергией, поэтому его вид никак не зависит от начальных условий. По этой же причине нет никаких принципиально разных возможных лагранжианов. Силы трения не нужны для решения этой задачи.
 
Решение этой задачи в Лагранжевой механике.

1) В нашем случае система имеет одну степень свободы. Это значит, что мы должны использовать одну обобщенную координату.

2) Обобщенной координатой, на которую не наложены никакие ограничения(связи), в данном случае является, например, угол между направлением стержня и вертикалью. Назовем его f. Тогда угловая скорость вращения стержня
w=f'
(f' - первая производная f по времени).

3) Кинетическая энергия стержня
K= 0.5*G*w*w,
где G= m*r*r + J
(m- масса стержня, r - расстояние от центра колец до центра масс стержня, J - момент инерции стержня).

4) Потенциальная энергия
P= -mgr*cos(f)
(g - ускорение свободного падения).

5) Находим лагранжиан (разницу между кинематической и потенциальной энергией)
L= K - P= 0.5*G*w*w + mgr*cos(f)

6) Дифференцируя лагранжиан согласно уравнению Лагранжа получаем

G*f'' + mg*sin(f) = 0
(f'' - угловое ускорение, вторая производная f по времени)

Это и есть уравнение маятника.

Начальные значения угла f и угловой скорости f' полностью определяют дальнейшее движение стержня.

7) Задача решена. При желании можно ввести трение и что угодно.

[ДмитрийК]

7) Задача решена. При желании можно ввести трение и что угодно.

Ну-ну  Флаг в руки.  Дано: к-цт трения К. И куда вы его собираетесь засунуть? (Господа офицеры, молчать!).

И вообще, как насчет сил в системе? Это знаете ли тоже физика, это важно для понимания того что же на самом деле происходит, напр. неплохо бы абсолютно жесткий стержень на прочность рассчитать

[ДалекийГость]

Дано: к-цт трения К.

Коэффициент между чем и чем?

И вообще, как насчет сил в системе?

Очень просто с силами - их нет. Есть пространство, время, тела, поля и различные виды энергии.

Это знаете ли тоже физика, это важно для понимания того что же на самом деле происходит

Еслм Вам важно понимать, что "на самом деле происходит" в Ньютоновской версии этой системы, то объясните:
почему в ней нарушается закон сохранения кинетического момента.

[ДмитрийК]

Ооо, чуствую начинается классический слив

Дано: к-цт трения К.

Коэффициент между чем и чем?

Не тупить!  :twisted: Ежу понятно что имеется ввиду: к-цт сухого трения в опорах, посмотрите определение в учебнике. Там правда будет написано про отношение продольной и поперечной "сил". А поскольку

Очень просто с силами - их нет.

но трение все-таки иногда есть:

Задача решена. При желании можно ввести трение и что угодно.

то вам придется дать свое определение трения и привести соотв. законы без использования термина "сила". Давайте, вводите трение в ваш лагранжиан а мы посмотрим.

Это знаете ли тоже физика, это важно для понимания того что же на самом деле происходит

Еслм Вам важно понимать, что "на самом деле происходит" в Ньютоновской версии этой системы, то объясните:
почему в ней нарушается закон сохранения кинетического момента.

Я-то уже все объяснил, никакого нарушения нет, решается переходом к пределу.

А вот вам придется заново переписать всю физику, напр. убрать термин "сила" из учебника сопромата поскольку как известно

Очень просто с силами - их нет.