Левитация в Ньютоновской механике

[jettero]

Так я про это и говорю.
 Не трение, а именно эта самая реакция на гайку имеет разный момент относительно центра колёс. Радиус разный.

Нее.., та реакция, которая не от трения, возникает только когда гайки покоятся, что я называл выше "гайки заклинились". В этом случае реакция опор на каждой гайке равны по модулю и по направлению и в сумме компенсируют силу тяжести. Общий момент равен нулю.
В общем надо нарисовать, чтобы было все наглядно, но мне лень )

[jettero]

Реакция опоры будет не от трения, а от препятствия в виде неровности кольца. Гайка физически не может сама по себе, без трения

В своем первом сообщении я предложил не использовать подобные доводы

Сторонникам обязательного наличия сил трения, обязательного неравенства 0 всех размеров всех тел, обязательной гибкости всех тел и обязательной неидеальности(кривизны) всех прямых и окружностей в Ньютоновской механике, предлагается официально и на всех уровнях добавить эти требования в свод законов Ньютона.

Еще раз – реакция будет не от трения, а от кулоновских сил, потому что они дальше скользить не могут. Точно та же реакция, если бы гайки были одеты не на кольцо, а просто лежали бы на столе. Трения нет. а реакция опоры есть. Или вы хотите сказать, что если одно тело лежит на другом без трения, то реакции опоры быть не может?

[Бродяга]

Нее.., та реакция, которая не от трения, возникает только когда гайки покоятся, что я называл выше "гайки заклинились". В этом случае реакция опор на каждой гайке равны по модулю и по направлению и в сумме компенсируют силу тяжести. Общий момент равен нулю.
В общем надо нарисовать, чтобы было все наглядно, но мне лень )

Всегда она есть, иначе стержень на землю полетит.
 Мало ли, что автор задачи этого не сказал, что присутствуют эти реакции, они должны быть.

[ДалекийГость]

Гайка физически не может сама по себе, без трения и без внешнего момента продвинуться по кольцу, для нее эта ситуация аналогично тому, что направляющая загибается не по радиусу кольца, а под 90 градусов.

Гайка на кольце - стандартная задача Ньютоновской механики. Часто называется "бусинка на кольце" и т.п. Никакой силы трения для нее не требуется. Непонятно откуда взялось бы такое требование. Если движение не по прямой, а по окружности, то почему обязательно должна возникнуть сила трения? И чему она должна быть равна?

К сожалению, сейчас должен уходить. Потом продолжу.

[jettero]

Ладно, я все-таки нарисовал

я немного изменил задачу, чтобы было понятнее
вопрос для ДалекийГость – если сил трения нет, значит ли что сила тяжести стержня на картинке не скомпенсирована? А если она скомпенсирована, то откуда взялись эти силы? Это и будет ответ на вашу первую задачу.

[El Selenita]

5) Внимание! Левитация!
Утверждается, что стержень будет левитировать, то есть не будет двигаться вниз под действием силы тяжести, несмотря на то, что она ничем не скомпенсирована.

6) Доказательство левитации.
Если бы стержень стал двигаться вниз, то он начал бы вращаться, переходя из начального горизонтального положения в нижнее вертикальное. У стержня появился бы кинетический момент не равный 0. Но кинетический момент стержня не должен изменяться, потому что суммарный момент сил, действующих на стержень, равен 0. Поэтому кинетический момент стержня должен оставаться равным 0, как это было в начальный момент времени. Стержень не имеет права вращаться. Следовательно, стержень не будет двигаться вниз.

Простите, а почему он не будет двигаться вниз?! Он прекрасно будет двигаться вниз. Только не вращаясь, а просто падать вниз, не вращаясь. Строго вертикально. Пролетев сквозь кольцевые направляющие.

И не говорите мне, что ему будут мешать кольцеобразные направляющие. У них ведь нулевая толщина в Вашей задаче, и при этом они никак не деформируются, я правильно понял? Ну вот значит помешать стержню падать они никак не могут, потому что для оказания ненулевого силового воздействия потребна ненулевая деформация.

Если у Вас направляющие имеют конечную толщину - то, наверное, нулевая толщина у гаек, и они недеформируемы? Тады то же самое, гайки просто пролетят сквозь кольца вертикально вниз.

Или и у стержней, и у гаек конечные толщины, и они деформируемы? Тогда звиняйте, никаких строго радиальных сил реакции быть не может - тангенциальные силы возникнут всенепременно.

[El Selenita]

1) Сторонникам обязательного наличия сил трения, обязательного неравенства 0 всех размеров всех тел, обязательной гибкости всех тел и обязательной неидеальности(кривизны) всех прямых и окружностей в Ньютоновской механике, предлагается официально и на всех уровнях добавить эти требования в свод законов Ньютона. Пока это не сделано, большая просьба не утруждать себя подобными глобальными доводами применительно к этой частной задаче.

СтОило так всё усложнять? Хотите, я сформулирую гораздо более простую задачу?

На строго горизонтальной абсолютно твёрдой поверхности под наклоном к горизонту стоИт абсолютно твёрдый карандаш на бесконечно тонком острие (т. е. карандаш не вертикален).

Утверждение о левитации и одновременном нарушении закона сохранения осевого момента: карандаш будет так стоять вечно и не упадёт.

Доказательство: на карандаш действуют только две силы, сила тяжести и сила реакции опоры. Чтобы упасть, карандаш должен повернуться вокруг центра тяжести. Сила тяжести момента относительно центра масс не создаёт и не может поворачивать карандаш. Сила реакции опоры по заветам ДалекийГость не имеет составляющей вдоль поверхности (= сила трения), а значит, направлена строго вертикально. Таким образом, горизонтальных сил нет вообще, центр масс карандаша от вертикали не сдвинется вовсе.

Если мы не хотим отказаться ещё и от 2-го закона Ньютона, то придётся считать, что модуль вертикальной силы реакции опоры равен силе тяжести. Однако эта сила создаёт осевой момент относительно центра масс карандаша. Ничто не компенсирует этот момент.

Имеем: карандаш стоИт, наклонённый к горизонту, не падает, не вращается, на него действует нескомпенсированный момент сил.

Бежим спасать ньютонову механику.

(Во как надо!)

P.S. Разоблачение сеансов магии: сила трения в таких задачах неизбежна. Сила реакции опоры обязательно имеет горизонтальную составляющую, направленную в сторону центра масс карандаша.

[El Selenita]

Силы реакции опоры (если они вообще есть) направлены по нормали к точкам касания стержня и колец, то есть радиально, вдоль стержня.

Т. е. вся загвозка - в от в этом. В ньютоновой механике величины сил задаются извне, вне рамок самой механики. Но это не значит, что их можно задавать произвольно. В некоторых идеальных случаях характеристики сил можно определять формально-математически (скажем, "идеальная нить не передаёт поперечных сил, а только продольные", "неплоское тело касается плоского в точке, сила строго радиальна", и т. п.),

НО!

когда рассматриваются математически идеальные тела, можно здесь и там столкнуться с неопределённостью (куда направлена сила в точке касания тела остриём?) Эти неопределённости с математической точки зрения связаны с различного рода разрывами (самой функции или её производных, и др.). Они разрешаются ПРАКТИЧЕСКИМИ методами - а именно, силы находятся исходя из законов ньютоновой механики (как это делается и в общем случае неидеальных тел).

Применительно к исходной задаче: методами самой механики находим, что со стороны колец к стержню приложены вертикальные силы (=силы трения). Т. е. само предположение о том, что "Силы реакции опоры (если они вообще есть) направлены по нормали" ошибочно. Это именно предположение (и не более того), оно ничем не обосновано и ниоткуда не следует. И оно ошибочно.

[ДалекийГость]

я немного изменил задачу, чтобы было понятнее
вопрос для ДалекийГость – если сил трения нет, значит ли что сила тяжести стержня на картинке не скомпенсирована? А если она скомпенсирована, то откуда взялись эти силы?

В Вашем случае сила тяжести будет скомпенсирована силой реакции опоры, которая перпендикулярна касательной к кривой (такую силу еще называют нормальной реакцией опоры). Произойдет это в точке касания, где эта касательная не вертикальна.

[ДалекийГость]

Доказательство: на карандаш действуют только две силы, сила тяжести и сила реакции опоры. Чтобы упасть, карандаш должен повернуться вокруг центра тяжести. Сила тяжести момента относительно центра масс не создаёт и не может поворачивать карандаш. Сила реакции опоры по заветам ДалекийГость не имеет составляющей вдоль поверхности (= сила трения), а значит, направлена строго вертикально. Таким образом, горизонтальных сил нет вообще, центр масс карандаша от вертикали не сдвинется вовсе.

Если мы не хотим отказаться ещё и от 2-го закона Ньютона, то придётся считать, что модуль вертикальной силы реакции опоры равен силе тяжести. Однако эта сила создаёт осевой момент относительно центра масс карандаша. Ничто не компенсирует этот момент.

Имеем: карандаш стоИт, наклонённый к горизонту, не падает, не вращается, на него действует нескомпенсированный момент сил.

Карандаш вращается потому, что направление силы реакции опоры не проходит через центр масс карандаша (сила реакции опоры вертикальна вертикальна, а карандаш наклонен).  Следовательно сила реакции опоры создает момент силы относительно центра масс карандаша. Этот момент силы ничем не скомпенсирован, поэтому кинетический момент карандаша будет изменяться. Карандаш будет вращаться, его центр масс будет двигаться вниз.

Мне казалось, что такие задачи проходят в 8-м или 9-м классе средней школы.

[ДалекийГость]

Про силы трения.

Разоблачение сеансов магии: сила трения в таких задачах неизбежна. Сила реакции опоры обязательно имеет горизонтальную составляющую, направленную в сторону центра масс карандаша.

Это неправильное разоблачение. Магия обманула Вас.

Непонятно, почему Ньтоновская механика не может решить эту задачу без сил трения. Эта система ,как уже говорилось, - в общем-то обычный маятник, для которого совсем не требуется никакой силы трения.

Лагранжева механика решает эту задачу как без сил трения так и с силами трения, не имея никаких проблем. Проблемы возникают только в Ньютоновской механике.

PS.
Просто из чистого любопытства хотелось бы получить ответ на следующий вопрос.

Очевидно, что силы трения могут создать момент сил, который будет вращать стержень, так чтобы его центр масс опускался, только если сила трения на внутреннем кольце больше силы трения на внешнем кольце.

Какие физические законы запрещают использовать такие материалы колец, чтобы сила трения на внешнем кольце была не меньше силы трения на внутреннем кольце?

[ДалекийГость]

Про деформации и прочие неидеальности.

Непонятно, почему Ньтоновская механика не может решить эту задачу без деформаций и прочих неидеальностей. Эта система ,как уже говорилось, - в общем-то обычный маятник, для которого совсем не требуется никаких деформаций или неидеальностей.

Лагранжева механика решает эту задачу без деформаций и прочих неидеальностей, не имея никаких проблем. Проблемы возникают только в Ньютоновской механике.

[Виктор Левашов]

Про деформации и прочие неидеальности.

Непонятно, почему Ньтоновская механика не может решить эту задачу без деформаций и прочих неидеальностей.

Лагранжева механика решает эту задачу без деформаций и прочих неидеальностей, не имея никаких проблем. Проблемы возникают только в Ньютоновской механике.

Так вот вы к чему тему создали?  :?

[ДалекийГость]

Так вот вы к чему тему создали?

Я создал тему, которая ясно и четко называется - "Левитация в Ньютоновской механике", а не "Левитация в механике".  В первом же сообщении я ясно и четко писал о противоречиях в "Ньютоновской механике", а не в механике или физике.

[El Selenita]

Про деформации и прочие неидеальности.

Непонятно, почему Ньтоновская механика не может решить эту задачу без деформаций и прочих неидеальностей. Эта система ,как уже говорилось, - в общем-то обычный маятник, для которого совсем не требуется никаких деформаций или неидеальностей.

Ньютонова механика может решить, и я Вам сказал решение. Стержень остаётся висеть на кольцах под воздействием тангенциальных сил реакции опоры.

Лагранжева механика решает эту задачу без деформаций и прочих неидеальностей, не имея никаких проблем. Проблемы возникают только в Ньютоновской механике.

Лагранжева механика - это ньютонова механика. Это одно и то же. Другое название - классическая механика. Под лагранжевой механикой понимается совокупность методов, а не постулатов. И лагранжева механика даст тот же самый ответ: стержень будет висеть под воздействием тангенциальных сил реакции опоры.

[jettero]

Произойдет это в точке касания, где эта касательная не вертикальна.

На рисунке стержень изображен в точке где касательная вертикальная, допустим он сместился на эпсилон стремящееся к нулю и как вы говорите, касательная стала не вертикальна и по вашему сила тяжести теперь компенсируется силами опоры, которые направлены по нормали (перпендикулярны к касательной)?
Не получится – потому что при эпсилон стремящееся к нулю, сила реакция опоры будет стремится к бесконечности (так как угол стремится к нулю). Так что неувязочка у вас
И вторая неувязка – чтобы реакция опоры стала не горизонтальна, гайкам надо повернуться на угол отличный от нуля, а они физически не могут повернуться в разные стороны, поскольку связаны стержнем (и потому что они идеальны, как вы сами настаиваете ).

Вывод из всего этого – если вы хотите строго придерживаться идеальных тел в задаче, то вам придется ввести состояние "заклинивания" гаек – то есть когда они физически не могут двигаться и в месте контакта с кольцом возникает механическая связь, которая дает тангенциальную реакцию опоры. Во всех других случаях, когда они могут двигаться, можете как прежде считать, что реакция опоры идет только по нормали.

Это вообще-то и так должно быть понятно, из чистого здравого смысла, что идеальную реакцию опоры, без трения, можно применять только когда тело может движением компенсировать боковую составляющую силы. И во всех задачах ньютоновской механики, где используют тела без трения, они используются только в этом контексте – тела могут двигаться. Иначе у вас модель просто не будет соответствовать 3 закону Ньютона. И вы будете во всех таких задачах получать левитацию  

[ДмитрийК]

И лагранжева механика даст тот же самый ответ: стержень будет висеть под воздействием тангенциальных сил реакции опоры.

Эээ а с какого бодуна он будет висеть?
L = T - V, T = 1/2Iw^2, V = mg sin a или что-то около того.
Чем лагранжиан этой фигни отличается от лагранжиана обычного маятника?

Про деформации и прочие неидеальности.

Непонятно, почему Ньтоновская механика не может решить эту задачу без деформаций и прочих неидеальностей. Эта система ,как уже говорилось, - в общем-то обычный маятник, для которого совсем не требуется никаких деформаций или неидеальностей.

Что касается Ньйтона, то если кратко - то вы говорите "отклонение от радиуса = 0, из этого следует что боковая сила тоже = 0". Т.е. вы неявно пользуетесь формулой 0*х=0, которая не работает для х=oo. Елси вы настаиваете на использовании идеальных абсолютно твердых тел и пр. то извольте быть готовым к бесконечно большим силам и прочим подаркам и относиться к ним аккуратно.

Для начала можно немного упростить задачу сосредоточив всю массу в двух материальных точках на концах стержня (т.е. гайках) а сам стержень сделав невесомым. Сути это не меняет а считать проще, не нужно интегралов по длине стержня брать. Достаточно просто аккуратно выписать суммы сил для двух материальных точек.

Только вот сразу возникает проблема с силой действующей на стержень - ее неоткуда брать и она может быть абсолютно любой, при этом она будет компенсироваться радиальными силами со стороны рельсов.

Чтобы понять что происходит, временно сделаем стержень упругим. Чтобы это учесть очевидно нужно ввести еще одну координату. Лучше выбрать такую которая обращалась бы в ноль в предельном случае абсолютно жесткого стержня. Напр. "угол перекоса" - разница в угловом положении внешней и внутренней гаек.

Теперь все встает на свои места (даже без учета трения):
1. Стержень начинает падать вниз.
2. Возникает "перекос", т. е. стержень оказывается направлен не по радиусу а отклонен от него на некий (малый) угол а.
3. Стержень растягивается на величину x ~=~ L(1-cos а) ~=~ а^2 для малых углов. (~=~  значит примерно пропорционален).
4. Возникает сила упругости F = Кх ~=~ Ka^2.
5. Из-за перекоса у этой силы есть компонента перпендикулярная радиусу F sin a ~=~ Ка^3.
6. эти компоненты очевидно действуют на два конца стержня в противоположных направлениях, уменьшая перекос и создавая при этом крутяший момент.

При желании можно выписать ур-я движения и попробовать их решить, только там тригонометрии будет дофига. Но решение будет существовать, при этом вполне разумное, хотя и навороченное (там еще колебания вдоль новой степени свободы будут присутствовать).

Теперь устремим к-цт К к бесконечности. С ростом К внешне поведение системы будет меняться не сильно, радиальные и угловые ускорения и соотвественно суммы сил и моментов будут оставаться примерно теми же
(можно показать что доля энергия приходящаяся на энергию упругости стержня будет стремиться к нулю). При этом угол перекоса будет стремиться к нулю (как и ожидалось). Но при этом что интересно сила упругости разрывающая стержень стремится к бесконечности. (Момент ~=~ Ka^3 остается некоей конечной величиной, а->0 соотв. сила F ~-~ Ka^2 -> +оо ).

Т.е. на бесконечно жесткий стержень будет действовать бесконечно большая сила. Конечный крутящий момент получается как произведение бесконечно малого смещения (в кубе) на бесконечно большую жесткость. Чтобы его найти надо честно брать предел. Заменить бесконечно малое смещение на тождественно =0 здесь нельзя, математически результат будет неверный.

Т.е. пренебрегать перекосом (даже бесконечно малым) нельзя. Вот вам и обоснование.

Стоит отметить что абсолютно жесткий стержень будет действовать на рельсы с бесконечной силой (направленной перпендикулярно рельсам). Что означает что даже бесконечно малый коеф-цт трения может вызвать вполне заметную конечную силу трения - опять умножаем ноль на бесконечность - трением тоже пренебрегать нельзя.

С третьей стороны стоило бы учесть и люфт в гайках - тогда перекос уже не бесконечно малый и картина опять резко меняется.

В реале же сочетание этих факторов (упругость, трение и люфт) и будет определять картину движения. Может и зависнуть, может и упасть, может и медленно сползти а может долго болтаться.

[El Selenita]

Карандаш вращается потому, что направление силы реакции опоры не проходит через центр масс карандаша (сила реакции опоры вертикальна вертикальна, а карандаш наклонен).  Следовательно сила реакции опоры создает момент силы относительно центра масс карандаша. Этот момент силы ничем не скомпенсирован, поэтому кинетический момент карандаша будет изменяться. Карандаш будет вращаться, его центр масс будет двигаться вниз.

Мне казалось, что такие задачи проходят в 8-м или 9-м классе средней школы.

Пожалуй, я действительно неудачно сформулировал условия - при такой формулировке карандаш может скользить концом по поверхности, вращаясь. Более простого устройства мне пока в голову не пришло, если придёт - скажу.

[El Selenita]

И лагранжева механика даст тот же самый ответ: стержень будет висеть под воздействием тангенциальных сил реакции опоры.

Эээ а с какого бодуна он будет висеть?
L = T - V, T = 1/2Iw^2, V = mg sin a или что-то около того.
Чем лагранжиан этой фигни отличается от лагранжиана обычного маятника?

Да, конечно, Вы правы - я и здесь с выводом поспешил. Но в объяснении хотя бы не ошибся.

Из написанного Вами лагранжиана следует, что само движение по окружности мыслится как возможное. Т. е. уже написанным лагранжианом Вы фактически вводите некоторые реакции связей, включая начальный момент времени. Меж тем эти реакции связей в самой постановке задачи (где всё идеально) не определены. А значит, в принципе для такой неопределённой постановки можно написать и другие лагранжианы. В Вашей постановке реакции опор в начальный момент равны нулю. Но это ниоткуда не следует. Можно свободно принять мою постановку, где уже в начальный момент времени реакции опор равны -mg/2 - эта постановка ничем не хуже и не лучше Вашей. При этом лагранжиан, естественно, будет уже другой (с бесконечным градиентом потенциальной энергии).

[ДалекийГость]

извольте быть готовым к бесконечно большим силам

Не изволю. Я уже много раз писал, что я сторонник Лангражевой механики, в которой не нужны силы.