Генератор инерции

[El Selenita]

Честно говоря не понял. Мы можем найти Т:
Можем L:
А что делаем дальше? Как повернуть тело?

Это не для поворота, это для наглядного представления. В общем, это способ геометрически изобразить траекторию оси вращения в пространстве (нарисовать те самые полодии, о которых я когда-то упоминал).

[Кенгуру]

Не вижу смысла в подтверждении законов механики с помощью любых численных моделей.

Но ведь раз уравнение Эйлера не решается в общем виде, то значит подтвердить или опровергнуть законы механики можно только численными методами. Правильно?

Конечно, неправильно. Уравнения получены из законов механики, стало быть, опровергать они её не могут ни при каких условиях

А чем подтвердить правильность вывода уравнений, которые в общем случае невозможно решить аналитически?

Тогда, может, действительно - сначала начать с внешних моментов, потом, если что, добавить мгновенный удар как источник внешнего момента?

А как его правильно добавить?

Я не понимаю, как рассчитывается распределение сколько идёт на вращение, а сколько на движение после столкновения. Если два сильно вращающихся тела, столкнуться краями, то они могут разлететься с гораздо большей скоростью, чем та, с которой сближались. То есть вращение может перейти в отталкивание.

[El Selenita]

А чем подтвердить правильность вывода уравнений, которые в общем случае невозможно решить аналитически?

Нелепый вопрос. Какая связь между правильностью вывода уравнений и возможностью их аналитического решения?! Миллион уравнений не имеют аналитического решения. Но они выводятся математическими методами из известных исходных положений, и если в методе их вывода не содержится ошибок, то вывод безошибочен. Опять-таки, математика позволяет доказать, что решения известных уравнений соответствуют исходным положениям, даже если сами эти решения не известны.

...Кстати, тут некоторая неточность в терминологии возникла. Случай свободного волчка разрешается аналитически: это как раз есть случай Эйлера. Я (и со мной Факир) неправильно выразился: на самом деле этот случай не разрешим в алгебраических функциях. Но он, разумеется, разрешим в трансцендентных функциях - в эллиптических и тэта-функциях.

Но общий случай аналитически неразрешим, аналитически разрешимы лишь 3 частных случая, о которых писал Факир: Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. В физике вообще аналитически разрешимые случаи встрачаются только в учебниках. Уже задача 3-х тел аналитически неразрешима. Но это не значит, что с законами Ньютона (через которые записывается задача 3-х тел) что-то не так и что их нельзя проверить.

Тогда, может, действительно - сначала начать с внешних моментов, потом, если что, добавить мгновенный удар как источник внешнего момента?

А как его правильно добавить?

Хотите сразу добавить удар? Не реализовывать общий случай вращения при наличии внешних моментов?

[El Selenita]

Я не понимаю, как рассчитывается распределение сколько идёт на вращение, а сколько на движение после столкновения. Если два сильно вращающихся тела, столкнуться краями, то они могут разлететься с гораздо большей скоростью, чем та, с которой сближались. То есть вращение может перейти в отталкивание.

Задача решается из законов сохранения импульса, момента импульса и энергии, но требуются некоторые дополнительные краевые условия касательно передачи момента (скажем, коэффициенты трения) и геометрии сталкивающихся тел. Я чуть позже постараюсь описать. В целом, для момента столкновения (если мы считаем его мгновенным) придётся решать некоторую систему из кучи уравнений, это можно сделать численно.

[El Selenita]

Кенгуру, я сейчас подумал, прикинул постановку задачи... Слушайте, даже в самом простом случае (точечный мгновенный удар) получается сильно громоздко (не сложно, а именно громоздко) в общем случае соударения тел произвольной формы. Ща объясню на пальцах.

У Вас два тела. Каждое тело имеет 6 степеней свободы (3 поступательных, 3 вращательных). Значит, всего 12 степеней свободы. Это значит, что у Вас 12 физических параметров, имеющих определенное значение до удара и значения которых предстоит определить после удара. А именно, 3 компоненты импульса (* 2 тела) + 3 компоненты момента импульса (* 2 тела).

13-й параметр - кинетическую энергию - определять, слава Аллаху, не надо, в консервативном случае E' = E (штрих - после столкновения, без штриха - до), в неконсервативном (если считать, что некоторая доля диссипирует в тепло) E'=k*E, где k - коэффициент от 0 до 1.

Но 12 параметров у Вас есть: штриховые значения проекций импульсов и моментов импульсов.

Что с уравнениями? 1 уравнение получится из закона сохранения энергии (то самое E=k*E'). 3 уравнения даст закон сохранения импульса. Это уравнения типа

P1x+P2x = P1x'+P2x' (сумма проекций импульса на ось х до удара равна сумме проекций после удара; ещё 2 таких же уравнения для осей y и z).

Ещё 3 уравнения даст закон сохранения момента импульса. Это уравнения типа

M1x+M2x = M1x'+M2x' (сумма проекций момента на ось х до удара равна сумме проекций после удара; ещё 2 таких же уравнения для осей y и z). Проекции моментов на неподвижные оси x, y, z придётся пересчитать, исходя из известных проекций на оси эллипсоида инерции, они получаются умножением соответствующего момента инерции на соответствующую угловую скорость вращения. А способ пересчёта у Вас уже есть, Вы пользуетесь теми же матрицами, какими пользуетесь для определения ориентации осей в неподвижных координатах.

Итого у Вас 1+3+3=7 уравнения. И 12 подлежащих определению параметра. Нужны ещё 5 уравнений, да. Откуда их взять?

Вот откуда. 2 уравнения должны получаться из геометрии. Если считать, что тела при ударе соприкасаются в точке, то в этой точке удара мы можем определить касательную плоскость (каждое гладкое тело в каждой точке имеет касательную плоскость, при ударе двух точек двух тел их касательные плоскости совпадают). В этой точке нужно найти, исходя из взаимных скоростей соударяющихся точек тела, касательную и бинормаль (нормаль нас не интересует, так как тела полагаем недеформируемыми). Вектор взаимной скорости должен испытывать отражение и по касательной, и по бинормали - это даст нам ещё 2 уравнения.

Наконец, 3 уравнения получим, исходя из предположения о взаимодействии моментов. Тут потребуются дополнительные, вводимые извне коэффициенты (нечто вроде коэффициентов трения, но не совсем), которые будут определять, насколько эффективно будет передаваться момент при ударе. Момент может вообще не передаваться (тела как бы идеально скользят друг по другу в момент удара) - тогда их вращение в результате удара вообще не изменится, вращение при этом можно вовсе исключить из уравнений.

В общем, будет 12 уравнений и 4 коэффициента извне - 1 для степени диссипации энергии и 3 - для описания скольжения в точке удара.

С этим Вы замучаетесь. Даже это - слишком сложная постановка задачи. ИМХО, надо искать другой метод.

Ща скажу, что можно сделать в самом простом модельном методе.

[El Selenita]

Значит, так. Есть такой элементарный модельный метод для твёрдого тела, который позволяет избавиться от всех сложных уравнений и заменить их кучей простых уравнений - таких, которые элементарно решаются "в лоб".

Это "метод пружинок". Никаких тебе тензоров деформации, никакой теории упругости. Помнится, я когда-то таким образом что-то моделировал на досуге, работало отлично даже на 286-м. Твердое тело представляется набором пружинок - достаточно жёстких, чтобы их деформации были весма малыми при тех силах, которые могут на них действовать в данной задаче. Скажем, кубик 10х10х10 см можно представить состоящим из точечных масс, находящихся на расстоянии 1 см друг от друга и соединённых жёсткими пружинками, имеющими длину в ненагруженном состоянии 1 см. Всего будет, стало быть, 9х9х9 пружинок. Пружинки для простоты надо считать одномерными в том смысле, что они могут нести лишь растягивающую/сжимающую нагрузку, а касательной нагрузке сопротивления не оказывают. Жесткость выбираем, исходя из задачи. Скажем, если есть основания полагать, что максимальные силы не превысят 100 Н, то берём для сантиметровой пружины жесткость 100 Н/0,0001 м = 1 000 000 Н/м. Тогда пружинка не растянется больше, чем на 1/10 мм (если силы, конечно, останутся в пределах 100 Н) и форма тела не изменится больше, чем на 1 %.

Дальше всё ясно: берём шаг по времени такой, чтобы за один шаг все смещения были намного меньше максимального удлиннения пружины (скажем, если такой куб налетает на стену со скоростью 1 см/с, то берём шаг 0,0005 с: тогда за шаг пружинка деформируется на 1/200 мм). Сначала со стенкой взаимодействуют первые пружинки, деформируются на 1/200 мм, в них возникают силы в 5 Н. Эта сила действует на стенку и на внутренние пружинки. Считаем силы,  ускорения и смещения внутренних точек по формулам равноускоренного движения, ну и так далее. Надеюсь, идея понятна, дальше сами догадаетесь.

Один только ценный совет: пружинку не следует брать идеальной. Обязательно нужно ввести некоторый коэффициент трения, который определяется эмпирически. В противном случае из-за накапливающихся ошибок вычисления система пойдёт вразнос: будет происходить как бы "численная подкачка" пружинок энергией, черпаемых из численных ошибок. И скоро весь куб разогреется до полного самоуничтожения путём выхода за пределы допустимых значений. Это очень забавная картинка сама по себе, но её нельзя допускать. Поэтому обязательно потребуется ввести затухание - как самый простой способ избавления от лишней энергии. Заодно это затухание будет моделировать диссипацию энергии при ударе, то есть оно будет физически вполне осмысленным.

Другой совет. Если моделируете одно столкновение - не разбивайте на пружинки всё тело. Заполните пружинками только небольшую область, в которой столкновение происходит. Скажем, если соударяются тела 10 см х 10 см - заполните маленькими пружинками лишь небольшую область, скажем, 0,5х0,5 см (если моделируемые тела не настолько пластичны, чтобы деформироваться сильнее). Причём не надо делать МНОГО пружинок. Вполне хватит трёх или даже двух рядов (а то и вообще одного!). Только поставьте пружинки минимум в 3-х направлениях. По идее, можно вообще ограничиться ОДНОЙ подпружиненной точкой (той, на которую приходится удар), но подпружинить её как следует, хоть и в ОДИН ряд - скажем, на 5-10 пружинках, прикреплённых в разных точках воображаемой полости под этой точкой (а самой точке придать массу, равную массе вещества, изъятого из этой полости). Все эти пружинки и точечные массы, конечно, воображаемые, на рисунке их изображать не нужно. Ну и сделайте дискретизацию поменьше, чтоб деформация на каждом шаге была очень небольшой.

Таким образом Вы сведёте всю теорию упругости к вычислению сил, производимых деформированными пружинками по закону Гука. А это уже совсем просто. И если всё считается достаточно точно (дискретизация достаточно мелкая), то все законы сохранения будут выполняться и всё будет ОК. Ну, часть энергии уйдёт в диссипацию (про обязательное введение диссипационного слагаемого я уже говорил, берите его традиционно, пропорциональным скорости), но это нормально, хорошо и правильно.

Попробуйте. В принципе, это не сложно, хотя реализация потребует, конечно, некоторой кропотливости и изворотливости.

[Кенгуру]

Тогда, может, действительно - сначала начать с внешних моментов, потом, если что, добавить мгновенный удар как источник внешнего момента?

А как его правильно добавить?

Хотите сразу добавить удар? Не реализовывать общий случай вращения при наличии внешних моментов?

Я добавил в программу внешние моменты. Только в логе они пока не расписываются.

В начале можно поставить все скорости вращений в ноль. Нажать на Start, и в параметр Момент по какой-нибудь оси прописать скажем 100 000. Тело начнёт раскручиваться. Если перед 100 000 поставить знак минус, то оно начнёт тормозиться, а потом крутиться в другую сторону.

Правда не знаю, правильно или нет.

Это получается, как если бы на теле стояли некие скажем реактивные двигатели и раскручивали бы его. То есть это происходит в локальной системе координат, в системе координат тела. А если тело с чем-то сталкивается, то воздействие получается в глобальной системе координат, то есть это как-то надо переводить.

[Кенгуру]

Кенгуру, я сейчас подумал, прикинул постановку задачи... Слушайте, даже в самом простом случае (точечный мгновенный удар) получается сильно громоздко (не сложно, а именно громоздко) в общем случае соударения тел произвольной формы. Ща объясню на пальцах.

У Вас два тела. Каждое тело имеет 6 степеней свободы (3 поступательных, 3 вращательных). Значит, всего 12 степеней свободы. Это значит, что у Вас 12 физических параметров, имеющих определенное значение до удара и значения которых предстоит определить после удара. А именно, 3 компоненты импульса (* 2 тела) + 3 компоненты момента импульса (* 2 тела).

13-й параметр - кинетическую энергию - определять, слава Аллаху, не надо, в консервативном случае E' = E (штрих - после столкновения, без штриха - до), в неконсервативном (если считать, что некоторая доля диссипирует в тепло) E'=k*E, где k - коэффициент от 0 до 1.

Но 12 параметров у Вас есть: штриховые значения проекций импульсов и моментов импульсов.

Что с уравнениями? 1 уравнение получится из закона сохранения энергии (то самое E=k*E').

По каким осям брать скорости для кинетической энергии? Как это правильно расписать?

3 уравнения даст закон сохранения импульса. Это уравнения типа

P1x+P2x = P1x'+P2x' (сумма проекций импульса на ось х до удара равна сумме проекций после удара; ещё 2 таких же уравнения для осей y и z).

А в какой систем отсчёта их считать? Есть две локальные матрицы объектов, которые не совпадают, и закручены как попало. Оси х у них могут не совпадать, и даже идти в противоположенных направлениях. Также как и другие оси.

Вот откуда. 2 уравнения должны получаться из геометрии. Если считать, что тела при ударе соприкасаются в точке, то в этой точке удара мы можем определить касательную плоскость (каждое гладкое тело в каждой точке имеет касательную плоскость, при ударе двух точек двух тел их касательные плоскости совпадают).

Плоскость должна быть касательной к чему? Скажем, два вращающихся куба столкнулись углами. Как тогда должна пройти плоскость?

С этим Вы замучаетесь. Даже это - слишком сложная постановка задачи. ИМХО, надо искать другой метод.

Ща скажу, что можно сделать в самом простом модельном методе.

Хорошо.  

[El Selenita]

Я добавил в программу внешние моменты. Только в логе они пока не расписываются.

В начале можно поставить все скорости вращений в ноль. Нажать на Start, и в параметр Момент по какой-нибудь оси прописать скажем 100 000. Тело начнёт раскручиваться. Если перед 100 000 поставить знак минус, то оно начнёт тормозиться, а потом крутиться в другую сторону.

Правда не знаю, правильно или нет.

Это получается, как если бы на теле стояли некие скажем реактивные двигатели и раскручивали бы его. То есть это происходит в локальной системе координат, в системе координат тела. А если тело с чем-то сталкивается, то воздействие получается в глобальной системе координат, то есть это как-то надо переводить.

Посмотрю. На самом деле внешние моменты, действительно, надо связать с неподвижной системой. Для каждого интересного случая это, по сути, надо делать отдельно (то есть задавать в каждом случае, как именно действует момент). Но каждая конкретная привязка делается без большого труда. Тем более, что матрицы перехода от системы главных осей (там, где у Вас сейчас определены угловые скорости) к неподвижной системе (той, в которой Вы рисуете тело) - эти матрицы у Вас уже есть. Позже я напишу, как это можно реализовать в паре интересных случаев. По поводу следующего поста - тоже чуть позже, ща спешу очень.

[El Selenita]

По каким осям брать скорости для кинетической энергии? Как это правильно расписать?[/quote]

Кинетическая энергия состоит из 2 частей: вращательной и поступательной. Поступательная считается как m(Vx^2+Vy^2+Vz^2)/2 - то есть сумма кинетических энергий по осям неподвижной системы координат.

Вращательная считается как (I1*om1^2+I2*om2^2+I3*om3^2)/2 - то есть как сумма вращательных энергий по главным осям инерции.

Полная кинетическая энергия есть сумма этих двух слагаемых.

P1x+P2x = P1x'+P2x' (сумма проекций импульса на ось х до удара равна сумме проекций после удара; ещё 2 таких же уравнения для осей y и z).

А в какой систем отсчёта их считать? Есть две локальные матрицы объектов, которые не совпадают, и закручены как попало. Оси х у них могут не совпадать, и даже идти в противоположенных направлениях. Также как и другие оси.

Ммм. Оси х, у, z у Вас должны быть одинаковыми для обоих тел. Не совпадают у Вас системы координат главных осей инерции (те системы, в которых указаны угловые скорости, у меня условно обозначены как 1, 2, 3). Это система, жёстко связанная с телом. Но Вы ведь потом с помощью матриц переводите эту жёстко связанную систему координат в НЕПОДВИЖНУЮ систему x, y, z, на которую проецируете связанные с телом его оси 1, 2, 3.

Ну так вот импульсы тела, конечно же, должны определяться в неподвижных координатах - т.  е. речь идёт о проекциях импульса на неподвижные оси.

Плоскость должна быть касательной к чему? Скажем, два вращающихся куба столкнулись углами. Как тогда должна пройти плоскость?

Гы! Тело должно быть гладким. В природе не бывает острых углов и ребер. Поэтому столкновение углов и ребер нефизично по сути, и если Вы хотите рассматривать тела с углами и ребрами, то придётся привлекать дополнительные предположения. Скажем, считать углы и грани слегка закруглёнными. Плоскость должна быть касательной соприкасающимся поверхностям. Например, если угол ударяется о грань, имеет смысл за плоскость брать плоскость грани. Если соударяются ребра - брать плоскость, определяемую ребрами (две скрещивающиеся прямые).

Вообще к любой точке гладкого тела можно построить касательную плоскость. Если две точки двух гладких тел соприкасаются, то их касательные плоскости совпадают.

Хорошо.  

С пружинками как, понятно?

[Кенгуру]

По каким осям брать скорости для кинетической энергии? Как это правильно расписать?

Кинетическая энергия состоит из 2 частей: вращательной и поступательной. Поступательная считается как m(Vx^2+Vy^2+Vz^2)/2 - то есть сумма кинетических энергий по осям неподвижной системы координат.

Вращательная считается как (I1*om1^2+I2*om2^2+I3*om3^2)/2 - то есть как сумма вращательных энергий по главным осям инерции.

Полная кинетическая энергия есть сумма этих двух слагаемых.

И наверное надо просуммировать энергии двух тел. Потому, что, например, в бильярде, один шар может ударить другой, сам остановиться, а другой улетает. То есть энергия одного полностью перешла другому. И сумма энергий двух тел до столкновения равна сумме энергий после столкновения, помноженная на некий коэффициент.

Да, и тут наверное все скорости и омеги надо тоже перевести в глобальные координаты? Потому, что энергии сильно зависят от систем отсчёта.

Значит первое уравнение будет таким?

m1(V1XGlobStart^2+V1YGlobStart^2+V1ZGlobStart^2)/2 +(I1X*om1XGlobStart^2+I1Y*om1YGlobStart^2+I1Z*om1ZGlobStart^2)/2

+m2(V2XGlobStart^2+V2YGlobStart^2+V2ZGlobStart^2)/2 +(I2X*om2XGlobStart^2+I2Y*om2YGlobStart^2+I2Z*om2ZGlobStart^2)/2

= k * (

m1(V1XGlobEndt^2+V1YGlobEnd^2+V1ZGlobEnd^2)/2 +(I1X*om1XGlobEnd^2+I1Y*om1YGlobEnd^2+I1Z*om1ZGlobEnd^2)/2

+m2(V2XGlobEnd^2+V2YGlobEnd^2+V2ZGlobEnd^2)/2 +(I2X*om2XGlobEnd^2+I2Y*om2YGlobEnd^2+I2Z*om2ZGlobEnd^2)/2 )

1 - первый обект 2 - второй. X, Y, Z - оси. Glob - глобальная система координат. Start - до столкновения, End - после. V - скорости. om - омеги. I - моменты инерции. Их видимо тоже надо перевести в глобальные? Хотя не очень понимаю физического смысла.

P1x+P2x = P1x'+P2x' (сумма проекций импульса на ось х до удара равна сумме проекций после удара; ещё 2 таких же уравнения для осей y и z).

А в какой систем отсчёта их считать? Есть две локальные матрицы объектов, которые не совпадают, и закручены как попало. Оси х у них могут не совпадать, и даже идти в противоположенных направлениях. Также как и другие оси.

Ммм. Оси х, у, z у Вас должны быть одинаковыми для обоих тел. Не совпадают у Вас системы координат главных осей инерции (те системы, в которых указаны угловые скорости, у меня условно обозначены как 1, 2, 3). Это система, жёстко связанная с телом. Но Вы ведь потом с помощью матриц переводите эту жёстко связанную систему координат в НЕПОДВИЖНУЮ систему x, y, z, на которую проецируете связанные с телом его оси 1, 2, 3.

Ну так вот импульсы тела, конечно же, должны определяться в неподвижных координатах - т.  е. речь идёт о проекциях импульса на неподвижные оси.

Неподвижная система - это в смысле глобальная система отсчёта?
Подумаю, как это всё перевести.

Плоскость должна быть касательной к чему? Скажем, два вращающихся куба столкнулись углами. Как тогда должна пройти плоскость?

Гы! Тело должно быть гладким. В природе не бывает острых углов и ребер. Поэтому столкновение углов и ребер нефизично по сути, и если Вы хотите рассматривать тела с углами и ребрами, то придётся привлекать дополнительные предположения. Скажем, считать углы и грани слегка закруглёнными. Плоскость должна быть касательной соприкасающимся поверхностям. Например, если угол ударяется о грань, имеет смысл за плоскость брать плоскость грани. Если соударяются ребра - брать плоскость, определяемую ребрами (две скрещивающиеся прямые).

Вообще к любой точке гладкого тела можно построить касательную плоскость. Если две точки двух гладких тел соприкасаются, то их касательные плоскости совпадают.

А как найти для них бинормаль?

B - это бинормаль.
Знаю как найти нормаль для скажем неких трёх точек в пространстве.
А бинормаль - это куда её проводить потом от нормали?

Хорошо.  

С пружинками как, понятно?

Не заметил вчера.

Это "метод пружинок". Никаких тебе тензоров деформации, никакой теории упругости. Помнится, я когда-то таким образом что-то моделировал на досуге, работало отлично даже на 286-м. Твердое тело представляется набором пружинок - достаточно жёстких, чтобы их деформации были весма малыми при тех силах, которые могут на них действовать в данной задаче. Скажем, кубик 10х10х10 см можно представить состоящим из точечных масс, находящихся на расстоянии 1 см друг от друга и соединённых жёсткими пружинками, имеющими длину в ненагруженном состоянии 1 см. Всего будет, стало быть, 9х9х9 пружинок. Пружинки для простоты надо считать одномерными в том смысле, что они могут нести лишь растягивающую/сжимающую нагрузку, а касательной нагрузке сопротивления не оказывают. Жесткость выбираем, исходя из задачи. Скажем, если есть основания полагать, что максимальные силы не превысят 100 Н, то берём для сантиметровой пружины жесткость 100 Н/0,0001 м = 1 000 000 Н/м. Тогда пружинка не растянется больше, чем на 1/10 мм (если силы, конечно, останутся в пределах 100 Н) и форма тела не изменится больше, чем на 1 %.

Это уже моделирование молекул получается.

10 * 10 * 10 = 1000 элементов. Но это кубик, а если мы хотим смоделировать, допустим круглое небесное тело? Тогда такого разрешения будет явно не достаточно. А если сделать 100 * 100 * 100, то это уже миллион элементов будет! А если ещё и просчитывать надо с безумно малым промежутком времени, то это сильные тормоза начнутся.

С точки зрения компьютерного моделирования, гораздо проще просто один раз рассчитать параметры после столкновения.

По идее, можно вообще ограничиться ОДНОЙ подпружиненной точкой (той, на которую приходится удар), но подпружинить её как следует, хоть и в ОДИН ряд - скажем, на 5-10 пружинках, прикреплённых в разных точках воображаемой полости под этой точкой (а самой точке придать массу, равную массе вещества, изъятого из этой полости). Все эти пружинки и точечные массы, конечно, воображаемые, на рисунке их изображать не нужно. Ну и сделайте дискретизацию поменьше, чтоб деформация на каждом шаге была очень небольшой.

Тогда я не понимаю. А если это куб лежащий на поверхности полностью одной из своих граней?

И если пружинка одна, то это же тоже самое, что и просто рассчитать столкновение двух объектов. А как это сделать я как раз и не знаю.

[El Selenita]

И наверное надо просуммировать энергии двух тел.

Конечно.

Да, и тут наверное все скорости и омеги надо тоже перевести в глобальные координаты? Потому, что энергии сильно зависят от систем отсчёта.

Скорости - обязательно. Угловые скорости (омеги) - не надо. У Вас глобальная система координат не вращается, поэтому угловые скорости вращения будут совершенно одинаковы во всех невращающихся координатах (это доказывается в механике).

Значит первое уравнение будет таким?

I - моменты инерции. Их видимо тоже надо перевести в глобальные? Хотя не очень понимаю физического смысла.

Моменты инерции переводить не надо. Они даны относительно главных осей и не зависят от координат. Формула кин. энергии вращения написана мной исходя их этих моментов инерции. В других координатах она бы выглядела иначе (сильно сложнее), но в главных осях она имеет именно такой, самый простой вид.

Неподвижная система - это в смысле глобальная система отсчёта?

Ну да, раз Вы её так называете.

А как найти для них бинормаль?

B - это бинормаль.
Знаю как найти нормаль для скажем неких трёх точек в пространстве.
А бинормаль - это куда её проводить потом от нормали?

Бинормаль - прямая, перпендикулярная нормали и касательной. Постройте нормаль, постройте касательную - и легко получите бинормаль. Если что, могу из матсправочника уравнения списать.

Это уже моделирование молекул получается.

Что-то вроде.

10 * 10 * 10 = 1000 элементов.

Вообще это уже очень много. Так много имеет смысл брать на случай, если Вас интересует примерная картина деформаций и напряжений. Иначе - достаточно много меньшего числа.

Но это кубик, а если мы хотим смоделировать, допустим круглое небесное тело? Тогда такого разрешения будет явно не достаточно.

Это будет более чем. Вас же не интересуют детали деформаций и напряжений, Вам нужен только результат? Тогда, как я уже сказал, ТОЛЬКО В ТОЧКЕ УДАРА сосредоточьте несколько пружинок, а всё тело считайте сплошным. При новых ударах переставьте пружинки именно в то место, куда происходит удар. Да, если у Вас пружинки приделаны к твёрдому в целом телу, то придётся рассчитывать не только силы, но и моменты сил. Но это ничуть не сложнее, если Вы считаете форму тела почти неизменной (пружинки очень жесткие = деформацией тела в целом пренебрегаем).

С точки зрения компьютерного моделирования, гораздо проще просто один раз рассчитать параметры после столкновения.

С точки зрения скорости расчёта - да. С точки зрения реализации... Не уверен.

А если это куб лежащий на поверхности полностью одной из своих граней?

Тогда считайте всю его нижнюю грань усеянной пружинками в один слой. В крайнем случае в два, больше не нужно.

И если пружинка одна, то это же тоже самое, что и просто рассчитать столкновение двух объектов. А как это сделать я как раз и не знаю.

Одной мало. Минимум три, чтоб по всем трём осям.

[zyxman]

А где ещё проявляется этот эффект в такой или сравнимой чистоте?

...Ммм... нигде, пожалуй. Но это не делает его более значимым. Ну, кто там из космонавтов первым наблюдал круглые капли воды в невесомости? На земле это в чистом виде воспроизвести не так просто. Нужен сосуд с маслом...

На земле эффект скругления капель жидкости в невесомости используют уже сотни лет, причем безо всякого масла - как вы думаете, производят свинцовые дробинки для стрельбы?
- довольно давно были построены специальные башни, где капли капли расплавленного свинца пока падают, успевают скруглиться, остыть и превратиться в твердое вещество, правда со временем эти башни стали оптимизировать, например подавать снизу сильный поток воздуха чтобы капли быстрее остывали и чтобы была нужна меньшая высота, но в целом это не особо влияет на результат.
Сам эффект вероятно обнаружили когда лили расплавленный свинец со стен крепостей.

[Кенгуру]

Да, и тут наверное все скорости и омеги надо тоже перевести в глобальные координаты? Потому, что энергии сильно зависят от систем отсчёта.

Скорости - обязательно. Угловые скорости (омеги) - не надо. У Вас глобальная система координат не вращается, поэтому угловые скорости вращения будут совершенно одинаковы во всех невращающихся координатах (это доказывается в механике).

То есть мы всегда вращаем матрицу вокруг глобальных осей? Я почему-то думал, что относительно предыдущего положения осей (красной, зелёной и синей стрелочек).

Значит первое уравнение будет таким?

I - моменты инерции. Их видимо тоже надо перевести в глобальные? Хотя не очень понимаю физического смысла.

Моменты инерции переводить не надо. Они даны относительно главных осей и не зависят от координат. Формула кин. энергии вращения написана мной исходя их этих моментов инерции. В других координатах она бы выглядела иначе (сильно сложнее), но в главных осях она имеет именно такой, самый простой вид.

А если гайка повернётся на 90 градусов, то ведь оси поменяются местами, а как же тогда моменты инерции? Они ведь останутся прежними. Ощущение, что здесь что-то не так.

Неподвижная система - это в смысле глобальная система отсчёта?

Ну да, раз Вы её так называете.

Её так называют авторы GLScene. У них там для всего есть глобальные и локальные матрицы. Глобальная - относительно мира, локальная - относительно родительского объекта.

А как найти для них бинормаль?

B - это бинормаль.
Знаю как найти нормаль для скажем неких трёх точек в пространстве.
А бинормаль - это куда её проводить потом от нормали?

Бинормаль - прямая, перпендикулярная нормали и касательной. Постройте нормаль, постройте касательную - и легко получите бинормаль. Если что, могу из матсправочника уравнения списать.

А касательная - к чему?
Скажем столкнулся угол и поверхность. Поверхность - это нормаль. А касательная куда проводится тогда?


Хотел вывести следующие формулы и наткнулся на следующу проблему.

P1x+P2x = P1x'+P2x' (сумма проекций импульса на ось х до удара равна сумме проекций после удара; ещё 2 таких же уравнения для осей y и z).

Ещё 3 уравнения даст закон сохранения момента импульса. Это уравнения типа

Но ведь импульс одного объекта может перейти в момент импульса другого и наоборот. Скажем два не вращающихся объекта летят навстречу друг другу. Один врезается в край другого, при этом другой начинает быстро вращаться.

Но это кубик, а если мы хотим смоделировать, допустим круглое небесное тело? Тогда такого разрешения будет явно не достаточно.

Это будет более чем. Вас же не интересуют детали деформаций и напряжений, Вам нужен только результат? Тогда, как я уже сказал, ТОЛЬКО В ТОЧКЕ УДАРА сосредоточьте несколько пружинок, а всё тело считайте сплошным. При новых ударах переставьте пружинки именно в то место, куда происходит удар.

А если угол одного объекта царапает по другому объекту?
Это всё очень сложно.

Да, если у Вас пружинки приделаны к твёрдому в целом телу, то придётся рассчитывать не только силы, но и моменты сил.

Тогда получается почти такой же расчёт, что и без пружинок, только повторённый для всех пружинок.

С точки зрения компьютерного моделирования, гораздо проще просто один раз рассчитать параметры после столкновения.

С точки зрения скорости расчёта - да. С точки зрения реализации... Не уверен.

Но это делается только один раз.
Тем более, что тут главный вопрос - это отсутствие методики. Конкретного правильно списка формул, которые надо считать. Если бы он был хоть раз написан, то всем идущим следом было бы намного проще.

А если это куб лежащий на поверхности полностью одной из своих граней?

Тогда считайте всю его нижнюю грань усеянной пружинками в один слой. В крайнем случае в два, больше не нужно.

Тогда зачем слой? Можно просто найти самую глубокую точку проникновения одного в другое, и рассчитать в ней контакт. Но как рассчитать - не очень понятно. Опять ведь надо считать и импульсы и моменты.

[Кенгуру]

На земле эффект скругления капель жидкости в невесомости используют уже сотни лет, причем безо всякого масла - как вы думаете, производят свинцовые дробинки для стрельбы?
- довольно давно были построены специальные башни, где капли капли расплавленного свинца пока падают, успевают скруглиться, остыть и превратиться в твердое вещество

Я - не знал. Думал, что отливают.

[El Selenita]

На земле эффект скругления капель жидкости в невесомости используют уже сотни лет, причем безо всякого масла - как вы думаете, производят свинцовые дробинки для стрельбы?
- довольно давно были построены специальные башни, где капли капли расплавленного свинца пока падают, успевают скруглиться, остыть и превратиться в твердое вещество

Ну вот, башню строить, свинец лить. Сложно, в быту не повторишь. Да и не видны они в полёте круглыми, капли-то. Только результат.

[El Selenita]

То есть мы всегда вращаем матрицу вокруг глобальных осей? Я почему-то думал, что относительно предыдущего положения осей (красной, зелёной и синей стрелочек).

Что-то мы с терминологией друг друга не понимаем, похоже. ...Что там с матрицами - я вообще не вникаю. Но есть две системы координат: неподвижная хуз ("глобальная" в Вашей терминологии?) и жестко связанная с телом система координат 123, где цифры соответствуют главным осям инерции. Когда Вы вращаете тело согласно ур-ям Эйлера, Вы вращаете его относительно главных осей, т. е. относительно координат 123. Но отображаете положение тела Вы в неподвижных координатах хуз.

Так вот кин. энергия поступательного движения высчитывается, исходя из движения по осям хуз. А кин. эн. вращения - исходя из вращений относительно осей 123.

Моменты инерции переводить не надо. Они даны относительно главных осей и не зависят от координат. Формула кин. энергии вращения написана мной исходя их этих моментов инерции. В других координатах она бы выглядела иначе (сильно сложнее), но в главных осях она имеет именно такой, самый простой вид.

А если гайка повернётся на 90 градусов, то ведь оси поменяются местами, а как же тогда моменты инерции? Они ведь останутся прежними. Ощущение, что здесь что-то не так.

Ещё раз: моменты даны относительно главных осей. Т. е. в системе 123. Если тело повернётся, с главными моментами инерции ничего не произойдёт. Они ж даны в системе, жестко связанной с телом.

Её так называют авторы GLScene. У них там для всего есть глобальные и локальные матрицы. Глобальная - относительно мира, локальная - относительно родительского объекта.

Ну так вот локальная - это, очевидно, в осях 123.

А касательная - к чему?
Скажем столкнулся угол и поверхность. Поверхность - это нормаль. А касательная куда проводится тогда?

Есть точка, где происходит столкновение. Эта точка в момент столкновения имеет некоторую скорость. Касательная совпадает с вектором скорости этой точки (точка принадлежит обоим телам; до и после столкновения эта точка, естественно, расщепляется на две, но нас интересует момент столкновения).

Хотел вывести следующие формулы и наткнулся на следующу проблему.

P1x+P2x = P1x'+P2x' (сумма проекций импульса на ось х до удара равна сумме проекций после удара; ещё 2 таких же уравнения для осей y и z).

Ещё 3 уравнения даст закон сохранения момента импульса. Это уравнения типа

Но ведь импульс одного объекта может перейти в момент импульса другого и наоборот. Скажем два не вращающихся объекта летят навстречу друг другу. Один врезается в край другого, при этом другой начинает быстро вращаться.

Это невозможно. Полный импульс сохраняется. Импульс не может перейти в момент импульса. Представьте себе диск, висящий в пространстве неподвижно. Пусть в его край врезается пуля (почти по касательной) и застревает в нём. Диск, конечно, начинает вращаться. Но одновременно с вращением он приходит в движение - его центр масс будет двигаться туда же, куда двигалась пуля. Закон сохранения импульса никто не отменял.

А если угол одного объекта царапает по другому объекту?
Это всё очень сложно.

Не так уж сложно.

Тогда получается почти такой же расчёт, что и без пружинок, только повторённый для всех пружинок.

Не. Пружинка (ее конец) - точечный объект. Столкновение точечных объектов есть прямой удар шаров.

Но это делается только один раз.
Тем более, что тут главный вопрос - это отсутствие методики. Конкретного правильно списка формул, которые надо считать. Если бы он был хоть раз написан, то всем идущим следом было бы намного проще.

Формулы просто написать. Их непросто применить к телам произвольной формы.

Тогда зачем слой? Можно просто найти самую глубокую точку проникновения одного в другое, и рассчитать в ней контакт. Но как рассчитать - не очень понятно. Опять ведь надо считать и импульсы и моменты.

В общем, всё зависит от задачи. Если бы Вы напервой еще больше ограничили бы задачу и обошлись бы, скажем, ударом шаров - было бы проще. Но в общем виде есть сложности. Я попробую потом, на досуге, расписать ещё подробнее на каком-нибудь примере. Но не быстро: конец года на носу...

[Иван]

"Пмонеры", улетевшие из системы и многие спутники на орбите стабилизированы вращением. (Те же гайки Джанибекова).
Что-то я не слышал, что они периодически "кувыркаются".
Или все-таки кувыркаются, да я не слышал?
У кого есть какая информация по этому?

Кенгуру, сможете их смоделировать?

Может пресловутое  торможение "Пионеров" и обусловленно этим эффектом?
Без кувырков.

[Кенгуру]

То есть мы всегда вращаем матрицу вокруг глобальных осей? Я почему-то думал, что относительно предыдущего положения осей (красной, зелёной и синей стрелочек).

Что-то мы с терминологией друг друга не понимаем, похоже. ...Что там с матрицами - я вообще не вникаю. Но есть две системы координат: неподвижная хуз ("глобальная" в Вашей терминологии?) и жестко связанная с телом система координат 123, где цифры соответствуют главным осям инерции. Когда Вы вращаете тело согласно ур-ям Эйлера, Вы вращаете его относительно главных осей, т. е. относительно координат 123.

123 - это же локальные оси вроде? Почему главные?

Но отображаете положение тела Вы в неподвижных координатах хуз.

Нет. Три стрелки - это положение локальной матрицы объекта. Или 123 как вы её называете. А глобальная матрица стоит на месте. Это весь мир. В начале они совпадают, когда начинается вращение, то локальная движется, а глобальная как бы так и стоит на месте как и была.

Опять какая-то путаница ...

Так вот кин. энергия поступательного движения высчитывается, исходя из движения по осям хуз. А кин. эн. вращения - исходя из вращений относительно осей 123.

Ну то есть её надо перевести в глобальную матрицу, и у другого объетка тоже в глобальную, чтобы всё совпадало?

Моменты инерции переводить не надо. Они даны относительно главных осей и не зависят от координат. Формула кин. энергии вращения написана мной исходя их этих моментов инерции. В других координатах она бы выглядела иначе (сильно сложнее), но в главных осях она имеет именно такой, самый простой вид.

А если гайка повернётся на 90 градусов, то ведь оси поменяются местами, а как же тогда моменты инерции? Они ведь останутся прежними. Ощущение, что здесь что-то не так.

Ещё раз: моменты даны относительно главных осей. Т. е. в системе 123. Если тело повернётся, с главными моментами инерции ничего не произойдёт. Они ж даны в системе, жестко связанной с телом.

Но ведь если тело повернётся, оно станет другим боком к тому телу, с которым сталкивается. Получается, что удар будет не там. Либо надо точку столкновения как-то переводить.

А касательная - к чему?
Скажем столкнулся угол и поверхность. Поверхность - это нормаль. А касательная куда проводится тогда?

Есть точка, где происходит столкновение. Эта точка в момент столкновения имеет некоторую скорость. Касательная совпадает с вектором скорости этой точки (точка принадлежит обоим телам; до и после столкновения эта точка, естественно, расщепляется на две, но нас интересует момент столкновения).

А если касательная совпадёт с нормалью, то как найти бинормаль?

Хотел вывести следующие формулы и наткнулся на следующу проблему.

P1x+P2x = P1x'+P2x' (сумма проекций импульса на ось х до удара равна сумме проекций после удара; ещё 2 таких же уравнения для осей y и z).

Ещё 3 уравнения даст закон сохранения момента импульса. Это уравнения типа

Но ведь импульс одного объекта может перейти в момент импульса другого и наоборот. Скажем два не вращающихся объекта летят навстречу друг другу. Один врезается в край другого, при этом другой начинает быстро вращаться.

Это невозможно. Полный импульс сохраняется. Импульс не может перейти в момент импульса. Представьте себе диск, висящий в пространстве неподвижно. Пусть в его край врезается пуля (почти по касательной) и застревает в нём. Диск, конечно, начинает вращаться. Но одновременно с вращением он приходит в движение - его центр масс будет двигаться туда же, куда двигалась пуля. Закон сохранения импульса никто не отменял.

Но ведь вращение диска останется. А до этого его не было. Кроме того, если врежется пуля в пулю, то обе остановятся.

А если угол одного объекта царапает по другому объекту?
Это всё очень сложно.

Не так уж сложно.

Тогда получается почти такой же расчёт, что и без пружинок, только повторённый для всех пружинок.

Не. Пружинка (ее конец) - точечный объект. Столкновение точечных объектов есть прямой удар шаров.

Лучше, наверное, пока разобраться с тем случаем. А то погнавшись за двумя зайцами,или кенгуру, ни одного не поймаешь.

[El Selenita]

Что-то мы с терминологией друг друга не понимаем, похоже. ...Что там с матрицами - я вообще не вникаю. Но есть две системы координат: неподвижная хуз ("глобальная" в Вашей терминологии?) и жестко связанная с телом система координат 123, где цифры соответствуют главным осям инерции. Когда Вы вращаете тело согласно ур-ям Эйлера, Вы вращаете его относительно главных осей, т. е. относительно координат 123.

123 - это же локальные оси вроде? Почему главные?[/quote]

Это название такое - "главные оси инерции". Хотя они локальные, т. е. привязаны к телу. Дело в том, что у них в механике особая роль, потому они так и называются. Моменты инерции можно определять относительно любых осей, но именно через эти, "главные моменты инерции" (определённые относительно "главных осей инерции") проще всего выражаются некоторые вещи - та же кин. эн. вращения, например.

Но отображаете положение тела Вы в неподвижных координатах хуз.

Нет. Три стрелки - это положение локальной матрицы объекта. Или 123 как вы её называете. А глобальная матрица стоит на месте. Это весь мир. В начале они совпадают, когда начинается вращение, то локальная движется, а глобальная как бы так и стоит на месте как и была.

Так я ведь именно об этом и говорю. Координаты хуз в "моей" терминологии - это "глобальные" в Вашей терминологии координаты. Которые "весь мир".

Так вот кин. энергия поступательного движения высчитывается, исходя из движения по осям хуз. А кин. эн. вращения - исходя из вращений относительно осей 123.

Ну то есть её надо перевести в глобальную матрицу, и у другого объетка тоже в глобальную, чтобы всё совпадало?

Нет. Кинетическое вращение - это число, скаляр. Его нужно только вычислить для каждого объекта в отдельности и потом сложить кин. энергии вращения обоих тел (два числа). А вычисляете Вы её для каждого тела в его собственных осях 123: Евращ=(I1*om1*om1+I2*om2*om2+I3*om3*om3)/2.

Может, Вам кажется, что это неправильно - ведь для каждого из тел вычисление ведётся через его собственные угловые скорости вращения в его собственных осят - но на самом деле это правильно. Вы получите правильное значение, ошибки не будет. Кинетическая энергия вращающегося колеса, например, не зависит от того, как повёрнуто колесо относительно других колёс.

Ещё раз: моменты даны относительно главных осей. Т. е. в системе 123. Если тело повернётся, с главными моментами инерции ничего не произойдёт. Они ж даны в системе, жестко связанной с телом.

Но ведь если тело повернётся, оно станет другим боком к тому телу, с которым сталкивается. Получается, что удар будет не там. Либо надо точку столкновения как-то переводить.

Конечно, удар будет не там, и точка столкновения будет совсем другая. Как же иначе? Ударите Вы по вращающемуся колесу сбоку или в ребро - это ж разные удары, разные последствия.

А если касательная совпадёт с нормалью, то как найти бинормаль?

Касательная не может совпадать с нормалью. Она всегда перпендикулярна нормали. По определению. Нормаль - это прямая, перпендикулярная касательной.

Полный импульс сохраняется. Импульс не может перейти в момент импульса. Представьте себе диск, висящий в пространстве неподвижно. Пусть в его край врезается пуля (почти по касательной) и застревает в нём. Диск, конечно, начинает вращаться. Но одновременно с вращением он приходит в движение - его центр масс будет двигаться туда же, куда двигалась пуля. Закон сохранения импульса никто не отменял.

Но ведь вращение диска останется. А до этого его не было.

Вращения не было. А угловой момент (момент импульса) был. Представьте себе, где находится центр масс системы "диск - пуля". Если рассматривать ситуацию в системе отсчёта, где ц.м. системы покоится, то Вы увидите, что с двух сторон к цм приближаются диск и пуля (диск медленно, пуля быстро). Вектор скорости диска при этом не проходит через цм, а лежит на некотором расстоянии L от него (это кратчайшее расстояние называется плечом). Следовательно, диск до столкновения имеет угловой момент L*MдVд (Mд, Vд - масса и скорость диска относительно цм). Так же и пуля имеет какой-то угловой момент. После столкновения и застревания пули в диске система будет покоится в этой системе отсчёта (закон сохранения импульса!) и при этом будет вращаться. Таким образом, сохранится и импульс, и угловой момент.

...Вообще удары лучше рассматривать в системе отсчёта, где цм системы тел покоится. В этой СО полный импульс всегда равен 0. Это удобно и для упрощения уравнений, да и тела будут летать возле цм более равномерно - не так, что оба вправо или влево, а так, что один вправо, другой влево.

Кроме того, если врежется пуля в пулю, то обе остановятся.

Если "лоб в лоб", т. е. если удар центральный, т. е. если векторы скорости пуль до столкновения проходят через общий цм системы. Если они соударяются по касательной, то начальный угловой момент не равен нулю, он сохранится, и после удара пули, даже если слипнутся в одно тело, то эта слипшаяся кучка пуль будет вращаться.

Лучше, наверное, пока разобраться с тем случаем. А то погнавшись за двумя зайцами,или кенгуру, ни одного не поймаешь.

Может быть, может быть. Давайте тогда разбираться с этим. ...Мы тут никому не мешаем?